Cha�nes cin�matiques � un solide par cha�ne
Une combinaison classiquement retenue pour les cha�nes � un solide est la (2,3) : Liaison prismatique motoris�e Cha�nes cin�matiques � 2 solides par cha�ne
�.. on peut ainsi d�cliner toutes les solutions jusqu'� 4 solides par cha�ne reli�s par des articulations � un ddl La m�thode propos�e est une m�thode tout � fait g�n�rale qui pr�sente un certain nombre de dysfonctionnements pouvant conduire � des erreurs soit en ignorant des degr�s de libert�, soit en ne prenant pas en compte les relations g�om�triques entre les articulations. Une �tude suppl�mentaire sera n�cessaire pour ces cas sp�cifiques. 5.2.5 Organisations types des architectures parall�les
SSM (Simplified Symm�tric Manipulator)
SSM
TSSM Quelques exemples d'architectures parall�les Une structure planaire
3-PRR, Mobilit� = 3 Une architecture spatiale
Un m�canisme propos� par Lambert. Mobilit� = 3 Le robot utilisant des cha�nes de type R-RSS propos� par Hunt en 1983 Mobilit� = 6 Dans la suite de ce cours, nous nous int�resserons aux robots de type s�rie, avec ou sans boucles cin�matiques ferm�es, et aux robots � architectures arborescentes. La particularit� de ces robots, est qu'il est possible de leur appliquer une m�thode g�n�rale de calcul d'un syst�me d'�quations g�rant leurs mouvements qui ne d�pendent pas de leur morphologie. L'�il agile (un m�canisme parall�le sph�rique � 3 ddl) ( Source : U LAVAL Labo Robotique) L'�il agile poss�de un espace atteignable en orientation sup�rieur � celui de l'oeil humain. La cam�ra miniature attach�e � l'organe terminal peut �tre point�e dans un c�ne de vision de 140 degr�s avec �30 degr�s en torsion. De plus, en raison de sa faible inertie et de sa raideur inh�rente, le m�canisme peut atteindre des vitesses angulaires sup�rieures � 1000 degr�s par seconde et des acc�l�rations angulaires sup�rieures � 20 000 degr�s par seconde carr�e, ce qui est largement au-del� des possibilit�s de l'oeil humain La version simplifi�e de l'�il agile � 2 ddl Une version simplifi�e l'orientation de la cam�ra (la plate-forme mobile) est connue par un angle d'�l�vation et un angle d'azimut, il n'y a donc pas de torsion.
CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION
1. Introduction En robotique on associe � tout �l�ment d'un poste de travail un ou plusieurs rep�res propres Ces rep�res sont positionn�s de telle sorte que les axes et origines correspondent � des directions privil�gi�es, qui ont un r�le dans l'ex�cution de la t�che : centre de gravit� d'une pi�ce, axe d'articulation, direction d'insertion d'une pi�ce sur un support, extr�mit� active d'un outil, point de positionnement de point de saisie, de d�pose d'une pi�ce,...point important d'une trajectoire. Les mouvements du robot sont assur�s par ses articulations. Ainsi la configuration articulaire de sa structure, d�termine la position de l'outil dans l'environnement de travail. Il est alors utile de param�trer les diff�rentes contraintes de positionnement de fa�on la plus homog�ne qui soit. 2. Rappels math�matiques Deux op�rations sont possibles sur les points de l'espace op�rationnel R0 : Des changements de rep�res : Expression de positions de points par rapport � des r�f�rentiels diff�rents : Position d'un point d'une pi�ce par rapport � cette pi�ce, et positionnement de ce point par rapport � une r�f�rence Atelier Des transformations faites sur des points : Changement de positions de points par rapport � un m�me r�f�rentiel : Position d'une pi�ce li�e � un convoyeur de distribution dans un atelier, qui a subi un d�placement 2.1 Expression de changement de rep�re
Soient les rep�res R0, R1 et P1 un point.
Ce point s'exprime par ses coordonn�es dans le rep�re R0 : {XP10, YP10, ZP10}
axe privil�gi�. r rr O0P1 O0O1 O1P1
+
= XP1
X
X
?
X
?
?
?
? O1 P1 O1 0 0 0 0
?? ?? = ???? + ??
?? YP1
Y
Y
?
Y O1 P1 O1 0 0 0 0
??
??
??
?? ZP1 ZO1 ZP1
? ZO1 0 0 0 0 r si on exprime O1P1, en fonction des vecteurs directeurs du rep�re R1 dans le rep�re R0 : r rrr O1P1 XP11 x1 + YP11 y1 + ZP11z1
=
X
X
?
? ??????? 1
?
? ??????? 1
? P1 O1 sx s n ax 0 0 ? x
??
??
??
+
Y P1 1
??
??
??
Y
Y XP1 ZP1 P1 O1
+
= n ay 0 ? 0 y y
??
??
?? ZP1 ZO1 s n az 0 0 ? z z On peut mettre la relation sous forme matricielle : s
????
? x na
X
X
X
?
? ? ? ? ?? 1 1
?
? P1 O10 P1 x x 0
???
? ? ??
? ? ??
? ? ?? ? ? ?? = ? ? ??
Y
Y
Y P1 O10
+ P1 y sna 0 y y ZO1 0 ZP1 ZP10 1 sna z zz
?
? r
le premier op�rateur exprime la translation O0O1
directeurs X1, Y1, Z1 exprim�s dans le rep�re {R0, X0, Y0, Z0}). rr P1/ R1
? P1/ R0 (expression des coordonn�es de P1 dans les rep�res R0 et R1). L'inconv�nient de cette �criture est qu'elle n�cessite une somme et un produit matriciel. En cas de changements de rep�res successifs la mise en �quation devient tr�s rapidement lourde � g�rer, de plus le nombre d'op�rations arithm�tiques � ex�cuter est �lev�. Il y a ici int�r�t de regrouper cette transformation dans un seul op�rateur : La matrice Homog�ne Mise en forme de la matrice de passage d'un rep�re 0 � un rep�re 1 : Soit la matrice suivante :
?
?
?
?
? XO1
0
????
????
? ? ??
? ? ??
? ? ?? YO1 0 ZO1 0
000 1
?
? On retrouve dans ce formalisme la matrice [3x3] caract�risant la rotation, et le vecteur colonne caract�risant la translation. Cet espace est � quatre dimensions , il n�cessite une nouvelle expression des vecteurs et des points XP10 YP10 ZP10 0
?
???
? ??
?
???
? ?? est l'expression du vecteur V1 dans le rep�re R0 XP10 YP10 ZP10 1
?
???
? ??
?
???
? ?? est l'expression du point P1 dans le rep�re R0 Un changement de rep�re s'exprime maintenant par un unique produit de matrices[4x4] [4x1]
X
X
?
?
?
?
X P1i
P1
?
?
?
? ? ? ??
? j sx s
na Ojix x
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? = ? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
???
???
???
Y
Y
X P1i
P1 j
na Ojiy y y
Z
ZP1
X P1i j
sna
?
? Ojiz z z
000 1
0 changement de rep�re Rj ? Ri On note ce changement de rep�re : iT j Cette matrice est appel�e Matrice de passage de Ri ? Rj Remarque :La matrice homog�ne iT j repr�sente les caract�ristiques du rep�re Rj dans le rep�re Ri : [s, n, a] sont les cosinus directeurs du rep�re Rj exprim�s dans Ri
?
? ? ??? XOji YOji ZOji 1
?
? ? ??? est l'expression des coordonn�es de Oj dans le rep�re Ri. j j j matrice 3x3 de rotation de Rj / Ri
] ][
[ i
]00
[ i
A
A
?
? OiO
??
?? j matrice3x1de translation deOi�OjdansRi
L'�criture du changement inverse peut s'exprimer directement � partir des expressions
Repartons de l'espace � trois dimensions. ][ [
]
1 OiO
???? ?? s s n ay x na
X
X
X 1 1 ? ? ? ??
?
?
?
P1
P1
O1 x x 0 0
???
? ? ??
? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??
? ? ??
Y
Y
Y
P1
P1
O1
= 0 0 y y
ZP1
ZP1
ZO1 1 0 0z zz sna
?
? La matrice [s n a] est d�finie positive (cf A1), son inverse correspond donc � sa transpos�e, et permet d'obtenir l'�quation suivante :
?
?
sss
?
X
X X Y ZO1
?
?
?
? 1 1 ? ? ? ??
P1
P1
O1 x y z 0 0 0 0
??? ? ? ?????
? ? ??
? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??
? ? ??
? ? ??
Y
Y
P1
P1
O1 n nyn
= 0 x z
ZP1
ZP1 1 0 a ay az x
?
? XP1
X XO1
? 1 1 ? ? ? ??
?
?
? P1 0 0
[ 0 1 ? ? ??
]
? ? ??
? t
[ 0 A1 ? ? ??
]
? ? ??
? ? ?? t YP1
A
Y YO1P1
= 0 0 ZPl ZP1 ZO1 1 0 0 Si on met � nouveau cette transformation sous forme matricielle [4x4], on obtient : XOO1 OO1
?
?
?
?????
?
? XP1 XP1 sss
?
?
?
? 1 0x y z
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
???
???
???
????
????
????
???? YP1 YP1
Y nnn 1 0y y z
= ZP1 ZP1ZOO1 1 0 a ay az z
?
?
1
1
000 1
?
?
?
? changement de rep�re R0? R1 Matrice de passage de R1? R0 en fait la matrice de changement inverse se met sous la forme g�n�rale suivante : ? ? ? ??
] ? ? ? ?
? = ? ???
]
] ? ??? iAj OiOj -1 t ?? iAj??t ?? iAj?? OiOj 0 0 0 1 0 0 0 1 changement de rep�re Ri�Rj On notera ce changement de rep�re : jT i 2.2 Expression de transformation de vecteur dans un rep�re L'op�rateur utilis� est le m�me, mais le r�sultat est diff�rent. En effet si nous repartons du r�sultat ci avant : XP2
X
?
?
?
? P2 i j
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?? YP2
Y P2
=
?
??
iTj
?
?? i j ZP2 ZP2 i j
0
0 Rj Ri Changement de Rj ? Ri ( cf fig2.1) XP2
X
? ? ?
? P1i i
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
????? YP2
Y P1i
=
?
??
iTj
?
?? i ZP2
Z P1i i
0
0 ? En fait nous avons �galit� des coordonn�es de P1 exprim�es dans Ri, et de P2 exprim�es dans Rj Ri Ri transformation de P1 en P2 dans le rep�re Ri (cf fig2.1)
X
X
?
?
?
? P1i P2 j
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
????? = ?????
Y
Y P1i P2 j
Z ZP2 P1i j
0
0 ? ? En conclusion nous dirons qu'un m�me op�rateur matriciel peut caract�riser :
Quelques propri�t�s : tout produit de matrice est possible � la condition suivante le nombre de colonnes de la premi�re matrice est �gal au nombre de lignes de la seconde [nxp][pxm]=[nxm]
Matrice carr�e: [T1] [T2] [T3]=([T1] [T2]) [T3]= [T1] ([T2] [T3])Rj Ri En g�n�ral le produit de matrice n'est pas commutatif [T1] [T2]?[T2] [T1]on peut scinder le produit de deux matrices en produits de sous matrices , ce qui permet de simplifier l'�criture ?A1 B1??A2 B2??[ ]AA1 [ ][]2 +B1 [] C2 [A1][B2]+[B1][D2]? ?C1 ??C2 2??[ ]CA[ ][]D1 C [ ][]2 +D2 ? ? ?? D ?=? 1 + [ ][]1 [] D ? D1 2C2 B1 ce qui dans le cas des matrices homog�nes se traduit par : ? A1 ? A2 []1 [2][B ]+[1][B2]? ?000 1 ??000 1 ?=? ? 1B ? 2B ??AA 1A ?[ ]??[ ] ??[000] 1 ? 3. Utilisation des matrices homog�nes. 3.1 Changement de rep�re d'une matrice de transformation.Une matrice de transformation peut s'exprimer elle-m�me dans des rep�res diff�rents. Soit [M] cette matrice de transformation :
?XP2j??XP1j? ?YP2j? =[]?YP1j? ?ZP2j ? M ?ZP1j ?
?? ?? ?0 ?Rj ?0 ?Rj si nous exprimons ces vecteurs dans la base i nous obtenons
?XP2j??XP1j? ? ??YP2j? =?iTj ?[]?YP1j? iTj M ???????? ? ??ZP2j?? ??ZP1j ?
?? ?? que nous pouvons �crire aussi :
?XP2i??XP1j?
?YP2i? =?iTj ?[]M ?iTj ? -1 ?iTj ??YP1j?
?? ?? soit :
?XP2i??XP1i? ?YP2i? =? ?[]?iTj ? -1 ?YP1i? ?ZP2i ? ??iTj ??M ?????ZP1i ?
?? ?? nous en concluons : Le changement de rep�re de Rj � Ri d'une matrice de transformation s'obtient par la relation suivante : [] ? ?[] ? ?-1 M Ri =??iTj ??M Rj ??iTj ?? 3.2 Transformations successives dans un rep�re Ri Les deux transformations successives se caract�risent par les relations suivantes :
ATTENTION : dans le cas d'une transformation, la multiplication des matrices se fait � gauche, en effet la transformation est r�alis�e dans le rep�re Ri. 3.3 Succession de changements de rep�resLa figure repr�sente deux changements de rep�res successifs, nous avons donc les relations suivantes : j j ????? ? ??? ?? ???? XP1i ? XP1 ? ? ? ? ?? j j ZP1j 0
?
X XP1k
?
?
? P1 YP1i YP1
Y YP1k P1 i Tj jT
?
?
=
= k
??
?? ZP1i
? ? ? ? ??
????
????
????
???? ZP1j ZP1k
0
0 on obtient donc : ?
?
?
? Rj
?
? Ri Rj Rk puis XP1i ?
X ? ?
? P1k 0 ATTENTION : dans le cas d'un changement de rep�re, la multiplication des matrices se fait � droite, en effet le changement de rep�re de Rj dans Rk s'exprime dans le rep�re Rj. La g�n�ralisation de changements successifs de rep�res est imm�diate. Le changement de rep�re de Rk dans R0 s'exprime par le produit de matrices suivant : ? ??? ?? ? ? ? ??
????
????
???? YP1i
Y P1k jT
?
? iT
= j k
??
?? ZP1i
Z P1k
0
?
?
? Ri Rk changement de rep�re de Rk ?Ri
[
0T k
]
=
[
0T 1
[
]
1T 2
]
.........
[ k-2 T k -1
[
] k-1T k
] Matrice de passage de R0 ?Rk 4. Expression de quelques transformations � l'aide des matrices homog�nes. 4.1 Rotation autour d'axe privil�gi�, ou translation pure(voir exercices d'application) 4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique(voir exercices d'application) 4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle ? exprim� dans un rep�re Ri on note cette transformation ROT(u,?) Consid�rons le rep�re {Rj, S ,T ,U } Les directions S et T sont d�termin�es de la fa�on suivante : S est dans le plan Xi, Yi Le plan <S T> est perpendiculaire � U et S est perpendiculaire � T La Passage du rep�re {Ri ,Xi ,Yi ,Zi } dans le rep�re {Rj ,S ,T ,U } peut se traduire � l'aide de deux rotations �l�mentaires : ?ROT(zi,?)ROT(x'i,?) qui exprime le rep�re Rj dans Ri S T U ??sx nx ax?0 ???C?-S ?0?0 ???10 0 ?0 ?
?? ???? ???? ?? ??sz nzaz ?0 ???0 01?0 ???0S? C??0 ?
?? ???? ???? ?? ' [iT i'][iT j] {Rj,S ,T ,U } = . Ceci nous permet d'exprimer les coordonn�es de U en fonction des variables ?, ?:
?Ux ??S?S?? ?Uy ??-C??? S = ?Uz ?? C??
??? ? ??? ? Expression des cosinus directeurs en fonction des coordonn�es de U, et de l'angle ?: La rotation Rot(zj,?) d'un vecteur exprim� au d�part dans le rep�re Rj revient � la rotation Rot(u,?) de ce m�me vecteur exprim� au d�part dans le rep�re Ri En fait nous avons la relation : Rot(u,?) iT j = iT j Rot(z,?) donc Rotu (, ) ?Ri = ???iTj ???Rotz ( j,?)Rj ???iTj ??? -1 Rot(u,?) = Rot(z,?)Rot(x,?) Rot(z,?) Rot(x,-?)Rot(z,-?) S T U ? C S ??? ??? S? 0 ?0 ? ?C?-S?? S?? 0 ?C?-S ?00 ? C? ?? ???? ???? ?? S? C C-C S 0 ? S?C?0?0 ? -S?? C?? S ?0 ?
?? ?? ?? ? ?? ?? C C? ?0S? C??0 ? 0 10 ?S S -C S C?? ? ???? ? ? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ? en d�veloppant on trouve : ??C?-S?? Ux?0 ???C?? 0?0 ???C ?? C -S ? S? 00 ?? ???? ???? ?? ?? C ? C ?? ? 0
??S? C?? C Uy0 ??S?? 0?0 ??-S??C C S ??
? ??0S? Uz??0 ?? ??0 01??0 ??? Ux UyUz ?0 ? ??? ?? S ?? ? C ?? CC ?-S C S?-C ??-S C C?Ux ?0 ?? ? S0 ?0 ?? ???? ?? ??SC?+C?? C S? ??+C C C Uy ?0 ???-S C C??C??
? -S S ?? ? ?? S? 0
?? S S?? S?C? Uz?0 ??? Ux UyUz ?0 ? Soit apr�s simplifications : ? 2 ? ?Ux (1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ??0 ?? ?? 2
??UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ??0 ? ??UxUz (1-C )-UyS ?UyUz (1-C?)+ UxS ? Uz (1-C ?)+C ??0 ?
? 2 ?? Remarque : La sous matrice [3x3]est une matrice de rotation, elle est donc orthogonale d�finie positive, sa matrice inverse est donc sa transpos�e. On peut retrouver cette matrice � l'aide de l'expression suivante : ?0 ?Uz Uy ? ) U) = ??Uz 0 ?Ux?? Rot(u,?)Ri =UUt (1?cos?)+I3cos?+Usin? avec ???UyUx Ux ?? Comment retrouver l'axe et l'angle d'une rotation caract�ris�e par sa matrice homog�ne ?
??sx nx ax?0 ? ?? ??
??sz nzaz?0 ? On proc�de par analogie avec les termes de la matrice pr�c�dente avec la somme des termes diagonaux, et la diff�rence des termes extra-diagonaux Cela permet de retrouver les termes de U dans le rep�re Ri, et la valeur de l'angle ? 5. Expression de transformations diff�rentielles Lorsqu'on applique un d�placement �l�mentaire � un rep�re Rj dans l'espace Ri, ce d�placement peut se d�composer en une translation puis une rotation �l�mentaires. Si ces transformations sont exprim�es dans le rep�re Ri, on a la relation suivante : iT j + d iT j = Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)[iT j] (multiplication � gauche) L'expression de la transform�e diff�rentielle est �gale � : d iT j = (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )[iT j] Si ces transformations sont exprim�es dans le rep�re Rj, on a la relation suivante :
iT j + d iT j = [iT j]Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?) (multiplication � droite)
d iT j = [iT j](Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I ) dx dy dz
[ iT j] -Uzd 0 dx dy dz dx dy dz
0 dx dy dz Expression de Trans(dx,dy,dz)
1 d'o� le r�sultat : (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )= Si les d�placements sont exprim�s dans Ri Uzd -
0
0 -Uzd 0 -Uzd 1 dx Uxd dy dz
000 1
1 Uzd -
100
010
001 [d iT j]Ri
=
?
? ? ? ? ?? ? ?? ?? Uzd -Uyd Uxd 00 00
?
???
? ? Uyd -Uxd 0
?
?
? ? ? ? ??
???
?
?
? ? ? ? ?? ?? Uyd Uxd 00 00 ? Uyd -Uxd 0
???
? ? Uyd 0 -Uxd
?
?
?
?
???
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ?? Uyd 00 01 ? ??
?
?
???
?
? Uyd -Uxd ? ? 0 -Uzd ? Si les d�placements sont exprim�s dans Rj
?
?
?
?
????
? ? ??
? ? ??
????
?
?
?
???
? ? ? ? ??
?
?
?
?
???
?
? ? ? ? ??
?
?
???
?
? ? ? ? ?? [d iT j]Rj = [iT j] Dans la matrice ci dessus, le d�placement �l�mentaire et la rotation �l�mentaire sont donn�s respectivement par : ? ? ?? Uzd -Uyd Uxd 00 00
?
?
j
et j dx dy dz Uxd Uyd Uzd On peut de la m�me fa�on caract�riser une matrice de changement de rep�res pour ces transformations �l�mentaires : jAiOiOj ?? ?
?
? ??
?
? ??
=
?
?
? ??
?
? ??
=
jd j Les matrices homog�nes utilisent les coordonn�es cart�siennes, et les cosinus directeurs pour exprimer la positon et l'attitude d'un rep�re par rapport � un autre. Cependant suivant les probl�mes rencontr�s, cette m�thode de repr�sentation de l'espace n'est pas judicieuse et on peut lui pr�f�rer d'autres principes de param�trisation. Dans ce cas se pose le probl�me de passage d'une m�thode de param�trage � une autre. Pour obtenir la situation d'un corps solide dans l'espace Rg, nous avons besoin de deux types d'informations : - La position d'un point de r�f�rence de ce solide (origine d'un rep�re Rs attach� � ce solide). L'orientation de ce rep�re Rs par rapport � un rep�re li� � l'espace Rg. 6. Expressions du positionnement d'un point dans un rep�re Rg. 6.1 Coordonn�es cart�siennes(X, Y, Z ) exprim�es dans Rg 6.2 Coordonn�es cylindriques 2
idi
i
jAi
jAi == ??? Le passage de coordonn�es cylindriques en coordonn�es cart�siennes se traduit par : Xr Yr
?
?
? ? ??
?
i
? ? ??
? ? ? ??
0
?
?
Y
?
??
??
? ??? = X2 A tan ZZ
+ ??
? ? ??
= cos sin
? ? ???
jd j = ZZ Si nous inversons le syst�me
j
?
?
? ? ???
??
Y
X
???
??? = = ? r
? ???
???
??? 6.3 Coordonn�es sph�riques Passage coordonn�es sph�riques ?cart�siennes
X r cos sin ?
?
?
?
=
?? ?? ?
Y r sin sin ?
=
??
??
Z
= r cos si nousinversonslesyst�me: ? ? ?= ? ???? ? ?? A tan
???
? ??
X 2
+
Y 2
Z 2
+ r Y
=
??? ? ( ?? ? ?? )
?? 0 = 0 avec
?
=0 avec
X
Y
???
??? ?= A tan Zsin
? 7. Orientation d'un solide dans l'espace M�thode des Cosinus Directeurs
? ?? ??
?
? ? ??? ? x.x ji ?? y.x ji ?? z.x ji ? sa x nx Xi
Xj x
? ? ??
? ? ??
=
? ? ??
? ? ?? et
? ???
? ???
= iAj
? ??? Yi Zi ? x.y ji ?? y .y i j ?? z.y ji ? sa y ny y Zj ? x.z ji ?? y.z ji ?? z.z ji ? sa z nz z Cette matrice indique les coordonn�es des vecteurs directeurs d'un rep�re Rj, dans un rep�re Ri Pour passer d'une orientation de rep�re Ri � une orientation d'un autre rep�re Rj , trois rotations �l�mentaires sont suffisantes. Diff�rentes conventions existent, qui sont utilis�es en robotique. Conventions couramment utilis�es en robotique: Syst�me des angles d' Euler (Pr�cession, Nutation, Rotation propre) Angles A�ronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) ou en anglais (Yaw, Pitch, Roll) Angles de Briant ,1, ,2, ,3 7.1 Syst�me des angles d'Euler (Pr�cession, Nutation, Rotation propre)Pr�cession Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan XnYn final?X1 cette droite ainsi obtenue s'appelle droite nodale Nutation Rotation autour de X1 pour ramener Y1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1 confondu avec Zn final?Z2 Rotation propre Rotation autour de Z2 pour ramener les axes X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux Pr�cession ? Nutation ? Rotation ? Expression des cosinus directeurs en fonction des angles d'EULER ?C? -S? 0??10 0 ??C? -S? 0? i ????? ?
Aj =?S? C? 0??0C? -S???S? C? 0? ?0 01??0S? C???0 01? ?CC -SCS -C??-??C? S?S?? ?sx nx ax? ?? ??? S SC
i ? ???
Aj = ?? ??? ?? ??? ? SS SC?? C???sz nzaz? 7.2 Angles A�ronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101 (Lorsque le d�placement se fait suivant Z, et que Y est choisi vertical )
Zn Yn Y2Yn Y2 ? Y1 Y1 OO X YX YX Y? Xn? Xn Roulis ? X1 X1 X2 Lacet ? X2 Expression des cosinus directeurs en fonction des angles a�ronautiques ?C? -S ? 0??10 0 ?? C? 0S??
iAj = ??S? C? 0?? ??0C? -S ??? ?? 0 10 ??
? 0 01??0S? C?? ?-S? 0C??
?? ? S S -S C ? S S S ??
Aj = S C-??S ?? S? -? ? ??=?s ny ay ? -C?S? S? C?C? ??sz nzaz? 7.3 Angles de Bryant (?1 ,?2 ,?3 ) ?1 Rotation ? autour de X pour ramener Y dans le plan Xn Yn final?Y1 ?2 Rotation ? autour de Y1 pour ramener X1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1confondu avec Zn final?Z2 ?3 Rotation ? autour de Z2 final pour ramener X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux Z1 Z1 Zn Z ZnZ Yn Yn Y1 ?3 Y1 OYY O Xn Xn X X1 X X1 X2 X2 Expression des cosinus directeurs en fonction des angles de Bryant iAj = ??0C? 1 -S ? 1?? ?? 0 10 ?? ??S? 3C? 30?? ??? ??? ?0S? 1 C? 1??-S? 2 0C? 2?? 0 01? C?2 C 3 ?2 S 3 S?2 ? sx nx a ? ?? -C ?? x ? ??? ?? ??? ??? -S 1 C 2
?C 1 S 3+S 1 S 2C 3 C 1 C 3-?? S 1 S 2S 3 ? ? ?=?sy ny ay? ? ??? ??? C?zz 7.4 La m�thode des quaternions (Hamilton 1843) ou param�res d'Euler :On peut exprimer une rotation comprise entre 0� ???180� par quatre param�tres ind�pendants : ?1, ?2, ?3, ?4 dont les caract�ristiques sont les suivantes : Soit une rotation ROT{Ur, ?}avec U v vecteur unitaire ? ????
?? 2= UxS ??2??? ? ????
?=?? 3= UyS ??? v ?1 = cos???? 2 ??? , ???? 4 = UzS ????2 ?????? avec U ={Ux Uy Uz}t vecteur de rotation
remarques : 7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions :nous connaissons l'expression du matrice de rotation ROT{Ur, ?}en fonction de U v et ?: ?U2x(1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ?? ? 2 ?
?UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ?? ?? cos () 2?12 ? ?= 1 ?21 2 ) 2 1 UxUy(1-cos () 2= Ux (1- cos ()? ??3= ?)2?1 ? 2 = Ux sin () 2 ? 2 ?32 = 1Uy2 ( () ??4=1 (-cos ? 1-cos ?) 2 UxUz 1 ()) () 2?1 ? 3 = Uy sin ? 22 ?21 2 ) 31 ? 4= Uz (1-cos ()? ??4 = UyUz(1-cos ()) 2?1 ? 4 = Uzsin (?) 22 par substitution, nous obtenons : ? (? +?22)?12 ??3 ?1 4)2 2 4 +1 )?2 12(2 ?? (?? ??3
?? 2 1 (?? ??
?? ?2 (??4 ???3)2 ?? 4 + 1 2) 2 ?12+?42 ?1 7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs :1?1 = ax + ny + sz +12 (trace de la matrice, 6180) 4?2 =ax-ny-sz+1 avec ()( )?, ?(, ) 2 1,1 22 33 41 2 = nz-ay avec ( )() 3,2 ? ,??23 donc : 1
?2 = Sgn(nz -ay) 2 de m�me nous trouvons : 1
?3 = Sgn(ax -sz) 2 1 ?4 = Sgn(sy -nx) az ?? sx ny +1 2 Annexe ? A1 Une matrice A ??nx?n est dite d�finie positive si ? X??n et X?0 XtAX>0 ? A2 Changement de rep�res de d�placements �l�mentaires Nous avons ede, e ?e exprim�s dans le rep�re Re Que nous voulons exprimer dans le rep�re Rn ndn, n ?n Pour cela nous pouvons exprimer le changement de rep�res d'une matrice de transformation De la fa�on suivante n n ee ?= T ? T n een c�d
nn ee ? ?= Te ?? Tn ?000 0 ??000 0 ? ? ? n ?) n ndn ?? e A T ?e A TOeOn?? e ?) e ede ?? e An OeOn? ? ?=? nn ???? ? ?000 0 ??000 1 ??000 0 ??000 1 ? On obtient donc les relations suivantes
? n ?) n ndn ?? e An T e ?) e e An e An T e ?) eOeOn+e An T e de ? soit : ? n ?) =e A T e ?) e A ? n ?=e A T e ? ?n nen ?n ne ?n e ee ?n e e eT e ? d = A T (?) OeOn+ d )? d = A T (? OeOn ?+ Ad ) ? nne e ?? nn ene Remarque n e e e ?) = A T ?) A n nen Si on d�veloppe la premi�re relation Nous obtenons les relations suivantes entre les coordonn�es des vecteurs rotations n eee ??x = s ?+ s ?+ s ? ? xx yyzz ? n ?y = nx e ?x + ny e ?y + nz e ?z ??z = a ?+ a ?+ a ? n eT e ? n xex yey zez soit sous forme matricielle ?n = An ?e Passage en �criture matricielle de dimension 6
? ? ?
? dx dx n e dy dy n e T
?
?
?
?
I
? OeOn
?
? n d dz dz y z ?? n
A
0 ee 3 n n n
??
??
??
??
=
=
??
?? T
0I n ?
? n
A e 0e x 3 n n e
? ? ? ? ? ? ???
? n x y z 0 ???
? ? ? ? ? ? ??? Rn
?
? ? ? ? ? ? ??? e
? ? ? ? ? ? ??? Re avec ZOeOn YOeOn
? matrice de pr�-produit vectoriel du vecteur OeOn exprim�
? ? ??
? ? ?? OeOn
Z0
?
X
= OeOn OeOn
? YOeOn X 0 OeOn dans Re |