Clase 7
Estadística Aplicada al turismo y a la hotelería
Prof. Bartolucci Angel
Las medidas de dispersión nos sirven para cuantificar la separación de los
valores de una distribución.
Llamaremos
DISPERSIÓN O VARIABILIDAD, a la mayor o menor separación de los valores de la
muestra, respecto de las medidas de tendencia central que hayamos calculado.
Al
calcular una medida de tendencia central como es la media aritmética,
resulta necesario acompañarla de otra medida que indique el grado de dispersión,
del resto de valores de la distribución, respecto de esta media.
A
estas cantidades o coeficientes, les llamamos: MEDIDAS DE DISPERSIÓN, pudiendo
ser absolutas o relativas
a)
Medidas
de dispersión absolutas:
·
Recorrido
·
Recorrido
intercuartílico.
·
Varianza
·
Desviación
típica
·
Desviación
media respecto de la mediana
b) Medidas
de dispersión relativas
·
Coeficiente
de variación de PEARSON
·
Índice de
variación respecto de la mediana
Recorrido:
Se define como la diferencia entre el mayor y menor valor de las
variables de una distribución:
Recorrido intercuartílico:
Se
define como la diferencia entre el tercer y el primer cuartil:
Desviación media
respecto de la mediana: Es
la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los valores
de la variable con respecto de la mediana.
Varianza:
Es
la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la
variable con respecto de la media de la distribución. Responde a la expresión
NOTA:
Su problema son las unidades ya que minutos al cuadrado no existen, y si
hablamos de longitud m x m nos daría metros al cuadrado o sea superficie. El
valor de la varianza no lo podemos tomar, pues, como la cantidad que resulta, en
las unidades que nos proporcionan los datos. Para hacernos una idea aproximada,
nunca exacta, hay que obtener la raíz cuadrada, y así esta nueva medida, es la
desviación típica:
Desviación
típica: La desviación
típica o standard, es la raíz cuadrada, con
signo positivo, de la varianza. Se representa por S, y tiene la
siguiente expresión:
Si operamos, podemos obtener la siguiente expresión, que es mucho más sencilla de operar, y obtenemos menos error de redondeo:
Propiedades
de la varianza :
1ª.- Es siempre un valor no negativo,
que puede ser igual o distinta de 0. Será 0 solamente cuando
2ª.-
La varianza es la medida de dispersión cuadrática optima por ser la
menor de todas.
3ª.- Si a todos los valores de la
variable se le suma una constante la varianza no se modifica. Veámoslo:
Si a xi
le sumamos una constante
xi’ =
xi
+ k tendremos (sabiendo
que
)
4ª.-
Si todos los valores de la
variable se multiplican por una constante la varianza queda multiplicada por el
cuadrado de dicha constante. Veámoslo:
Si a xi’
= xi
· k tendremos
(sabiendo que
)
5º.- Si en una distribución obtenemos
una serie de subconjuntos disjuntos, la varianza de la distribución inicial se relaciona con la varianza de cada uno de los subconjuntos
mediante la expresión
Siendo
Ni è
el nº de elementos del subconjunto (i)
S2i è la
varianza del subconjunto (i)
A su vez la desviación típica, también tiene una serie de propiedades
que se deducen fácilmente de las de la varianza (ya que la desviación típica
es la raíz cuadrada de la varianza):
1ª.- La desviación típica es siempre
un valor no negativo S será
siempre ³0
por definición. Cuando S = 0 è
X = xi
(para todo i).
2ª.- Es la medida de dispersión óptima
por ser la más pequeña.
3ª.- Si a todos los valores de la
variable se le suma una misma constante la desviación típica no varía.
4ª.- Si a todos los valores de la
variable se multiplican por una misma constante, la desviación típica queda
multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.
El
problema de las medidas de dispersión absolutas es que normalmente son un
indicador que nos da problemas a la hora de comparar. Comparar muestras de
variables que entre sí no tienen cantidades en las mismas unidades, de ahí que
en ocasiones se recurra a medidas de dispersión relativas. El
coeficiente de variación de PEARSON es una de las más significativas y lo
podemos definir, como el cociente
entre la desviación típica y la media aritmética de una distribución.
Es necesario tener en cuenta que al efectuar el cociente eliminamos las
unidades por tanto V es adimensional.
Cuando
Vx < Vy significa que X
es más representativa que Y, o que la media de X representa mejor a su
distribución, que la media de Y a la suya.
Por convención se considera que la dispersión es óptima
si Vx es igual o menor que
0,3.
El coeficiente de variación no se ve influido si multiplicamos todos los
valores de la variable por una constante
Propiedad:
Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante el coeficiente de variación queda alterado. Es consecuencia
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