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Charge et décharge d'un condensateur à
travers un circuit inductif
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1- Etude théorique
On considère le circuit suivant :
- Ecrire la relation entre les tensions E, uC, uL
et uR.
- En vous aidant des relations du cours entre i et uC, i
et uL déterminer la relation entre E, uC,
duC/dt, d2uC/dt2,R, L et C.
Vous obtenez alors une équation différentielle du second
ordre dont la méthode de résolution vous est donnée
dans l'annexe jointe à ce TP.
2- Etude expérimentale
1- Câbler le montage suivant:
Le GBF délivre un signal carré (sortie TTL du générateur).
2- On souhaite observer: - la tension ue et la
tension uC
- la tension uC et le courant i.
Préciser les branchements de l'oscilloscope
3- Que peut-on dire de la continuité (au sens mathématique
du terme) de i(t) et uC(t)?
Etait-ce prévisible?
4- Quelle est l'influence de la résistance R sur la réponse
du système?
5- Le régime critique est le régime qui constitue la limite
entre le régime pseudo-périodique et apériodique.
En utilisant un potentiomètre ou une boîte AOIP, mesurer
la valeur de la résistance critique RC (l'expression
de RC se trouve dans l'annexe) et comparer la avec la valeur
donnée par l'expression théorique.
6- Choisir une valeur de R qui donne un régime pseudo-périodique
avec quelques oscillations.
Mesurer la valeur de la pseudo-période T et le dépassement
d défini par
d = (UCmax - E)/E
(E est la hauteur de l'échelon imposé par le générateur)
Comment varient T et d avec R?
7- Qu'observe-t-on lorsque R=0 ? Quelle est la forme du signal? Donner
sa période.
8- Oscillateur à résistance négative
Lorsque R=0, le signal n'est pas parfaitement sinusoïdal à
cause de la résistance interne de la bobine qui dissipe de l'énergie,
ce qui se traduit par un amortissement du système.
Pour annuler cet amortissement, on peut introduire en série une
résistance négative:
Montrer que u = - Rni.
Réaliser le montage et ajuster Rn pour annuler l'amortissement
et obtenir un signal sinusoïdal.
ANNEXE
L'équation obtenue est:
La solution de cette équation est la somme d'une solution particulière
(uC = E) et de la solution de l'équation homogène
(H), appellée aussi équation sans second membre. Cette équation
homogène (H) est:
Les solutions de cette équation (H) s'écrivent sous la forme:
En remplaçant cette expression de uC dans l'équation
(H) on obtient l'équation:
Le discriminant D de cette équation est:
L'expression de uC dépend du signe de D
.
| Si D > 0 c'est à
dire |
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alors
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|
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avec
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et
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le régime est apériodique
| Si D < 0 c'est à
dire |
|
alors
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Le régime est sinusoïdal amorti. On parle de régime
pseudo périodique.
La pseudo-période du signal est T = 2p/w.
| Si D =0 c'est à
dire |
|
alors
|
|
On parle de régime critique
Ce régime est un régime intermédiaire entre les
régimes apériodique et pseudo-périodique.
| Cette valeur particulière de la résistance est appelée
résistance critique , |
 |
La représentation graphique de ces régimes est la suivante:
Nous pouvons regarder l'influence de la résistance R sur l'amortissement
du régime pseudo-périodique:
Pour cette simulation, L = 1H, C = 1m F,
R = 250W , R = 500W
, R = 1000W , R = 1500W
,
