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四因說
潛能(Potentiality)與效能(Effect)
平等的道理
黃金分割
黃金分割率(Golden Ratio, or Golden Mean.)簡介
哲學線路圖﹕先驗後驗、分析綜合

 

四因說

一)引言

故事一
有個宇宙人躺在銀河系邊緣觀察地球﹐就如物理學家看電子雲﹐地球上的人都成了
質點。上帝問他有什麼體會﹐他回答說﹕我觀察地球兩千年﹐發現那些質點大凡背
著陽面全都處於隱匿狀態﹔而當半球轉向光照面的時候﹐它們就會象潮水一樣涌出
地面﹐並活躍起來。可見陽光對質點具有吸引力與激活力。上帝對宇宙人說﹐你的
觀察衹停留在現象上﹔而且你假設地球上的人沒有自由意志。

故事二
宇宙人來到地球。他看到有家寺院在冒煙﹐並發現寺院的前頭有一座橋。他把橋拆
掉後﹐寺院就不再冒煙了。他說﹐寺院裡的煙是橋造成的。上帝讓他再探。他回到
寺院時﹐橋剛剛修好﹐寺院又在冒煙。他對上帝說﹐煙的確是因為橋的緣故﹕如果
再拆橋寺院必然再斷煙﹐實踐是檢驗真理的唯一標準。上帝說﹐不然。冒煙是因為
人們去寺院燒香。那橋是寺院的唯一通路﹐你把它拆了﹐人們自然進不去。

故事三
於是宇宙人就懲罰燒香的人。結果香火愈燒愈旺。宇宙人問上帝﹐如果是因為人的
緣故﹐怎麼會愈懲罰香火愈旺﹖上帝說﹐燒香是因為信佛﹐而許多人信佛又恰恰是
出於對懲罰的恐懼。上帝說﹐你必須理解人類﹐才能理解人類的行為﹔你也必須讓
人類理解你﹐使他們知道為什麼受懲罰。

二)因果概念

因果無恰當定義。這是一對由“因”導出“果”的相待概念﹐存在可以是單一或集
合的實體、事件、觀念﹔時間順序“因在前、果在後”。

張三逛夜總會(事件)染上薩斯病毒(實體)﹐十天後呼吸衰竭(集合)。張妻怪
當局封鎖疫情(觀念)﹔而張母則說﹐張三若不是與張妻吵架就不會去夜總會﹐等
等。總之﹐在這條因果鏈上每一環節都可以有不同的想象。這樣﹐因果就很容易與
可能性或必然性﹐決定論或宿命論扯上關係。

哲學、科學、法律、倫理、宗教對因果亦有不同說法。在澳洲﹐張三旁觀李四溺水
可以是過失殺人﹐但從科學角度看﹐張三與李四之死並無因果關係。

熱衷因果據說是出於人的天性。人喜歡將一事歸因於另一事﹐特別是壞事的歸咎﹕
盡管前後兩件事情並無關係﹐但衹要說起來大致順耳﹐你就不缺信眾。因此人類社
會始終有替罪羊。

人還習慣於把日常經驗納入推理或想象框架﹐而後把宇宙擬人化(全息)。比如﹐
君子之道造端乎夫婦﹐及至﹐察乎天地”﹐就是把男女間的陽施(因)陰受(果)
普遍化為乾陽坤陰 。但照康德的說法﹐這類推論乃是"a bastard of the imagination
impregnated by experience" ﹐根本不具合法性。

理念可大(站在宇宙邊緣伸拐棍)可小(一尺之棰日取其半萬世不竭)還可以無限
多(八卦﹐六十四卦﹐無窮多卦)﹐而現實的時空則是有限的﹐經驗是確定的。這
種差別注定了這麼一種現狀﹕你可以用邏輯框套經驗﹐卻不可以反過來把經驗扯成
邏輯(辯證邏輯)﹐混同抽象與具在、內容與形式。所謂宇宙無限大、物質無限可
分、世界無限多樣﹐實際上是混淆了理念與現實。

三)亞氏四因說與創世記

亞氏四因﹕
質料因(material cause)=制作成品的原料。
形式因(formal cause)=成品的存在范式(pattern)或結構(structure)。
動因(efficient cause 執行因、效能因)=照形式把質料鑄為成品的造物者(agent)。

終極因或目的因(final cause)=存在的目的性。

從動因產生效能有質料、形式、目的因參與﹐一如研究動物同時從生化、解剖、動
物行為著手。

比較四因與五行﹐就不難理解中醫的路子何以愈走愈窄。結構知識可以在四因說下
完善﹐卻不可能在五行說的框架下得到發展。五行說把人體臟器兌減為沒有結構的
金木水火土﹐而這就注定了中醫作為“科學”的非法性。一如康德所言﹐以無邊想
象強奸有限經驗衹能造就四不象雜種。中醫概念說抽象不算抽象﹕肝是木﹔說具體
也不是真具體﹕木植於土﹐可生火﹐可剁砍﹐並隨風搖曳。

規範概念(正名)是為了避免扭曲、誇張。

創世記四因﹕
上帝(動因)照自己的形像(形式)用塵土(質料)造人﹐並讓人管理地球(目的)。

上帝往泥人鼻孔吹氣﹕
(一)人獲得自有動因。
(二)該動因雖“自有”﹐卻是源於上帝﹐因此人的靈魂亦自有永有﹐
(三)靈魂本性自由、自主﹐自由行為原發於自由意志。

上帝造人的邏輯起點是已成世界(頭一日地是空虛混沌)﹐即﹐創造的前提之一是
有了塵土(質料因)﹐而這也恰恰是亞氏四因說的邏輯起點。亞氏的變化是指一物
變成另一物﹐而不是從無到有。因為他是在物理學名下談四因﹐而現實的“質料”
都是具體存在﹐並服務於特定目的﹐就如繪畫原料服務於畫家的繪畫目的。

第一動因

從摩西到亞里斯多德相隔一千年﹐從亞里斯多德到牛頓又過了兩千年﹐第一動因如
磐石堅、從不動搖﹐因為第一動因是形而上的必要存在。創世記第一章談造人、第
二章再談造人不是無意義的重復。區別在於﹐第一章談動因、形式、目的﹐屬形而
上﹔第二章給出質料、使人成為“有靈的活人”﹐乃是一個執行過程。“耶和華”
是與人相待的名稱﹐與第一章造天造地之神同指而異名。

目的因

亞里斯多德未曾明確交待目的因究竟是創造目的還是造物目的。但照定義﹐既然動
因主體是造物者﹐那麼目的因也就自在於造物者而非造物。即﹐從造物本身談變化
衹能說明事情是怎麼一回事(止於現象描述)而不能回答為什麼這樣﹐除非被造之
物擁有可歸因的自由意志(注意叔本華的泛意志論)。

比如﹐你不可能從雞蛋的結構和形成(發生)回答為什麼雞蛋會是一頭大、一頭小
的偏橢圓形﹔如果你判定雞蛋造型是出於孵化需要﹐那麼你的研究實際上已超出雞
蛋﹐進入了母雞的行為領域﹔如果你發現蛋的形狀也不是雞的選擇﹐那你就不能排
除另有造物之主﹐最終歸於第一動因的必要存在。

目的因貫穿於動因和形式因﹕有目的之動才能是有效的動﹐盲動不可能是創造活動。
“形式”是秩序而不是混沌﹐你可以從秩序中看出目的。貓踩鍵盤不可能踩出一段
文字﹐因為亂踩導致刪除或關機的幾率要遠遠大過連續打出五個字的幾率﹐而這就
注定亂踩鍵盤不可能是有效的創造活動。同樣是“生命物質的進化”﹐就算大自然
碰巧合成﹐氨基酸也不是一經合成就不再分解、還能自組成為“生命物質”。你不
能把基於遺傳才得以續存的生命特征加諸非生命的存在。

目的因既表示創造有目的、顧用手段﹐也表示創造賦予造物以自律性(度)﹐即以
達成目的為行止的中庸之道。這種思維足以改變人們對事物的態度與方法。比如薩
斯﹐如果病毒感染是為了向人群拷貝必要的基因片段﹐那麼康復是恰當的﹐治療的
宗旨是糾正病毒對某種類型的體質所造成的問題﹔而如果感染以致死為目的﹐那麼
預防則是恰當的﹐一開始就把門關上。

事物的曲折過程不是什麼否定﹐“否定之否定”更不是什麼客觀規律。假設過去不
合理是出於對事物過程的片面觀察﹐或是曲解手段的作用﹐或是對造物的自律性缺
乏認識。事物的變化是現實的﹐而造物的宗旨與理念則超越現實﹐並立足於不變﹐
道理就如施工不改變工程目的、工程藍圖。

前人種樹後人乘涼。現實中﹐種樹是因、乘涼是果﹔而作為理念的乘涼則既先於種
樹、又覆蓋了乘涼﹕即﹐先有乘涼理念﹐再決定種樹﹔樹成之後乘涼理念又覆蓋了
百年、千年的乘涼現實。這叫理念超越現實﹕這裡的“超越”不單是高高在上﹐而
是既高高在上、又是基礎的、必要的﹔這裡的“不變”不是以不變應萬變﹐而是你
變我不變﹐是我讓你變你才變。

目的因有雙重意義﹕作為理念它既在最前、也在最後(耶穌說﹐我是α也是ω)﹐
就如生物的基因是始終的存在﹔而作為現實﹐目的因則在結果之後﹐是一種後置因﹕
張三上學是為了就業﹐是賺錢的美好前景一直鼓勵著他努力學習直到畢業。可見在
一個計劃系統裡並無所謂“因在前、果在後”。

目的因普遍存在於生物界﹐而從宇宙和諧、統一的角度看﹐非生物的存在也有目的。
就是說﹐凡是造物都有目的。區別在於﹐生物有自身目的性﹐擁有諸如遺傳、適應
等生存手段﹔而非生物目的則是外在的﹐比如火的存在對人而言是照明、烹調、取
暖﹔對植物而言是毀滅與再造。

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潛能(Potentiality)與效能(Effect)

蠟可以用於制燭、拋光﹐也可以捏成各種形狀。這些都是蠟的“潛能”﹐止於觀念﹔
而一旦成為現實﹐特定的潛能就成了“效能”。潛能可以無限﹐效能衹能有限﹐因
為效能(體現於形態)依創造目的而注定﹐以創造者滿意為適度(神看著是好的)﹔
而特定的創造意志、創造目的都是有限、確定的存在。此外﹐創造者還必須付出努
力才能完成創造活動(第七日神歇了)。

“確定性”一如老板決定用蠟拋光﹐從而這團蠟是拋光之蠟﹐而不是制燭之蠟﹔
“有限性”是排除蠟成為燭的可能。當然也是出於蠟的數量的限制﹕如果數量夠多﹐
那就可以部份拋光、部份制燭。除了數量﹐質料造型也受到質的限制。比如﹐你可
以用蠟捏一個小女神像﹐但就不能用蠟制作紐約港女神像﹐因為蠟太油滑。

蠟限於小型產品的制作﹐這道理可以從分子結構角度解釋﹐也可直接從目的性角度
解釋﹕蠟是蜂的產品﹐同時也是蜂的質料﹔其原初目的是用於建造蜂房﹐而不是用
來建造紐約港女神像這樣的龐然大物。因為造物主是照蜂的體積、蜂的活動範圍去
設計蠟的屬性﹐而不是照人的建築愿望去設計。人要滿足自己的想象﹐可以照自己
的要求去創造新的材料﹐比如人工合成有機材料。

潛能或效能都是以創造者的存在為前提。不同的是﹐效能有確定的創造者﹐就如產
品有確定的產家﹔而潛能則沒有確定的創造者﹕蠟在蜂腿上意味著蜂是蜂房的創者﹔
在人的手上意味著人是燭的創造者。潛能之於人也是文化產物﹐比如中國人相信龍
骨有治病潛能﹐龍骨因此又獲得市場潛能﹔而對於洋人﹐龍骨則有研究中國歷史的
潛能。由此可見﹐潛能的不確定性是注定的。

因此﹐離開創造者談潛能難免失義﹔而從人的創造角度看問題﹐凡不是人力可及的
均談不上創造﹔凡不是人的認識可及的都無所謂潛能。質料既用於創造目的﹐其現
實存在意義也就由創造者賦予﹔潛能衹是與形式、動因、目的相待的可造性、可塑
性﹐而不是質料的“固有屬性”。因為時空下任何存在都是特定的﹐“固有”或
“自有”屬於形而上范疇。

從質料到產品﹐創造過程的每一細節都體現了造物者的意志、能力、智識。理念成
為現實是出於造物者的意志﹔現實有確定的答案乃因存在是智能活動產品。人類的
認識與創造活動乃是效法造物主的作為。老子說﹐“天下有始﹐以為天下母﹔既得
其母﹐以知其子﹔復守其母﹐沒身不殆。”換言之﹐認識“母子關係”乃是真知的
起點﹐或曰“敬畏耶和華是知識的開端”。

人類文明究其源頭始於造物主﹔論其歸宿亦終於造物主。

可能性與現實性

猜測連載小說的情節發展是一回事﹐文字出版後角色的命運又是另一回事﹕前者謂
可能性﹐後者謂現實性﹔前者是從讀者角度看問題﹔後者是從作者角度決定事態﹐
涉及作者的意志(好惡)與能力(想象力)。可能性與現實性的基礎話題是誰在談
論可能性﹐相關的現實又由誰決定。許多人摸不著問題的頭緒就是因為分不清主體
與對象﹐從而混同了可能性與現實性。

事物對白痴談不上可能性﹐因為白痴缺乏想象力﹔對全能造物主也談不上可能性﹐
因為現實以造物主的意志為轉移。心智健全的人既非白痴也非造物主﹐而是似是而
非、介於其中﹐所謂“天地之間其猶橐龠”﹐“神之格思不可測度”。

現存事物是為現實。有人拿“明天太陽是否昇起”作為可能性來探討﹐但實際上﹐
衹要不是世界末日﹐地球的轉動都是現實的而不是可能的。可見﹐不是未來的一切
都歸於可能性。未來的事物有已存的﹐有未存的﹔有確定的﹐有不確定的﹔確定的
存在有可知的確定性與不可知的確定性﹔不確定的存在有可知的不確定性與不可知
的不確定性﹔而可知的存在亦有已知與未知之別。

哲學的可能性是人的認識較於創造意向或不確定性﹔是人對不確定存在的猜測﹐並
由此衍生“認識的不確定性”與“存在的不確定性”﹕不確定的認識可以是歷史的﹐
比如孔丘曾否誅殺少正卯史學界給不出確定答案﹔而不確定的存在則不可能是過去
的﹕誅殺少正卯作為一回事﹐其存在與否關乎最後審判﹐並不因人的認識而改變。

時軸上如果所有事件都被注定、預設(如錄像)﹐那麼任何存在與出路都衹有唯一
的答案﹔如果未來是一張白紙﹐那麼未來的一切都是可塑造的﹐且不論由誰塑造。
但事實上﹐未來事件中有確定無疑的﹐比如地球轉動﹔有已注定的﹐比如地球資源
減少﹔有確定、但不注定的﹐比如自然環境惡化﹔亦有注定的、且是不可知的存在。

可能性限於非注定、不確定性﹐並借以展示意志自由的真實性。此處的“意志自由”
是透過選擇造成不同後果﹔“真實性”是寓於結果的非注定性。這道理就如選舉﹐
非注定結果的選舉才能算是民主選舉。人對非注定的事物有選擇、創造的自由﹐而
對注定的事物則是不自由的。不自由說明除人之外還另有主宰力量。從某種意義上
講﹐人的不自由是從負面見證了更真實的存在。

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平等的道理

將線段一分為二 A) 如果隨機選擇切點﹐那麼線段上所有的點被切幾率均相等。
B) 如果照條件去切﹐那麼衹有符合條件的點才有被切的可能。
C) 非A)非B)切法﹕既無條件又非隨機﹐乃是出於純粹的意志。

A)非意志、無章法﹐而事實上﹐事物的存在是有章法的。
B)有章法、有條件﹐而探討宇宙起源不設條件。
C)純粹意志先於造物﹐不依他。

C)有意志而無條件﹐顯然是上帝的切法﹔B)是人的切法﹐以上帝切法為法。
就是說﹐如果上帝選擇以線段的中點為切點的“正切”﹐那是上帝愿意這麼做﹔如
果是人照邏輯思維去切中點﹐那就不是人愿意這麼做﹐而是人服從邏輯法則。“正
切”實際上就是“無差別原則”﹐乃自然的根本法則。這一法則見於倫理是平等﹔
見於美學﹐則是和諧與平衡。

邏輯上﹐正切不用給理由﹐因為中點是唯一的存在﹐取中點而切實無可爭議﹐亦無
所惑。正切的結果可以互換﹕一樣長短的兩條線段﹐我可以任取一段給你﹐而你卻
沒有理由要這段不要那段﹐因此也是不惑、無爭。
偏切得給理由。因為偏切有兩個對稱的選擇﹕即偏左或偏右的等價選擇。你得交待
憑什麼舍左取右或舍右取左。如果是因為“兩者並無差別﹐可任取其一”﹐那麼你
的立論也是以無差別原則為基礎﹔既如此﹐為什麼又要偏﹖你得給出一個不自相矛
盾的答案來。其二﹐偏切的兩個結果﹐是不等價的﹐因此你得論證特殊結果的必要性。

隨機切割與正切一樣不必給理由。不同的是﹐正切是有理、有據的不給理由﹐因為
其理、其據昭昭然不辨自明﹔而隨機切割之不給理﹐乃因其本身即無理--你不能
指望一個無理的存在能給出什麼道理、依據。

自然的平等﹐通常表現為一堆照常態曲線分佈的數字。據說是因為標準造物受偶然
因素的左右。

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黃金分割

從線段AB取C﹐則AB=AC+BC。令AB/AC=AC/BC﹐得1+BC/AC=AC/BC﹔
BC/AC=(-1+√5)/2=0.618...即黃金分割率。

傳說黃金分割率是希臘數學家Hippasus於500 BC發現﹐後被雅典人用於建造帕台農
神廟(Parthenon) 。開始時﹐人們以為黃金分割衹是出於Hippasus的想象。
Fibonacci數列問世後﹐黃金分割就被看作是一種自然的成長範式。

照Fibonacci數列演示﹐衹要“一數等於前兩數之和”﹐那麼﹐隨著數列趨向無窮大﹐
相鄰兩數的比值就是黃金分割率。這樣﹐“長線段比中線段等於中線段比短線段”
就不再是黃金分割必要條件﹐而“一數等於前兩數之和”則歸於一種成長範式。

平等與平衡

平等是指個體間的關係。黃金分割的對象是整體﹐是最佳的局部與整體的比例關係。
因此﹐如果對象是一大堆並列的個體﹐那你就不能用黃金分割去討論問題。如果對
象是由個體組成的整體﹐你或許可以從黃金分割角度去探討平等﹐比如﹐從個體角
度引用無差別原則﹔或從整體角度引用黃金分割談和諧。

集體與整體

社會乃“集體”與“整體”的雙重存在。

從集體意義而言﹐社會是由個體組成的﹐每一個體都是獨立的主體﹐相互關係以平
等為原則﹔政府不過是“集體的公器”而不是“整體的核心”﹐因此適用於無差別
原則。

從整體意義而言﹐組織行為由組織章程決定﹐所強調的是組織功能﹔組織成員也是
章程界定的個體。整體目的既不在於部分或個體﹐那就可以合理區分整體與局部﹐
或合法應用紀律或條例約束成員﹐並規定不同待遇--這裡實無所謂自由與平等﹐
因此適用於黃金分割。

差異與動力

平等是自然法則﹐平衡與和諧也是自然法則﹕前者言說個體間的關係﹔後者言說整
體與局部的關係。局部差異是為整體提供動力﹐但這種差異是有度量限制的。無差
異不能為整體提供動力﹐太大的差異也不能為整體提供動力﹕黃金分割乃中庸之道﹐
是恰到好處的差異。

如何“恰到好處”﹖

為什麼0.618“恰到好處”﹐而0.667就不是﹖將1分成0.618與0.382後﹐再分割0.618﹐
你就得到另一個0.382﹐即1=0.382+0.236+0.382。就是說﹐將一線段黃金分割長短兩
段後﹐你最多衹能從較長線段中再分一條相同的短線段。這是出於整體和諧的需要﹐
對局部進行權力限制。

從黃金分割看民主社會黨派政治﹐如果以0.5為中點﹐那麼兩黨輪流執政的條件之一
是﹐兩黨的穩定支持率應在0.618-0.382範圍變動。如果一黨支持率超過0.667或
另一黨低於0.333﹐那麼大黨就要面臨分裂。所謂“天之道損有餘以補不足”﹐其
實就是和諧與平衡的道理﹐就如水往低處流。

0.667兩次覆蓋0.333﹐乃一邊倒的比例﹐權當“全民共識”。0.618衹一次覆蓋0.382﹐
兩者的中點是0.5﹐表示這是同一個級別的存在﹐且可互換角色。如果是四個黨派角
逐﹐出現1=0.382+0.236+0.236+0.146的情形﹐那麼﹐0.236+0.382>50%﹐0.146+0.382
也照樣>50%﹔0.236不比0.146優越﹐兩者不僅是“同一級別”﹐而且在許多情形下份
量相同。

因此黃金分割是允許少數與多數互換主導角色﹐是動態中庸﹐左右逢源。

從黃金分割看男女平等﹐如果行業性質與性別無關﹐那麼其中點就是0.5﹐男女比例的
合理差異應限於0.618-0.382範圍。超過0.667或低於0.333﹐就意味著男女不平等。

黃金分割也可以用於工時、工資制。比如﹐一周168小時X0.618X0.618X0.618=40小時﹐
這是全時制工作的每周工時﹔可分成5天﹐每天8小時。

40X0.618=25﹐乃部分時制的工作﹐可分成5天﹐每天5小時。
25X0.618=15﹐可分成5天﹐每天3小時﹐或分成3天﹐每天5小時。
每天24小時的黃金分割(取整數)﹕24=15+9=9+6+9=9+6+6+3。
睡眠時間﹕嬰兒15小時﹐幼兒12小時﹐兒童9小時﹐成人6小時。這種睡眠時間的差異
﹐也反映一種和諧。試想﹐如果成人睡眠12小時﹐幼兒6小時﹐那需要幾個成人才能管
得住一個幼兒﹖

工資。如果一等年薪62萬﹐那麼二等38﹔三等24﹔四等15﹐五等9﹐六等5.6﹐七等3.4。
這種分法是說﹐如果你的能力是同等低能員工的兩倍﹐那我就給你提一等工資﹔否則
我寧可用兩個平均水平的員工﹐來填補你跳槽留下的空缺。然而照人的能力分佈﹐同
一職業難得有一人能抵兩人的情形。因此﹐這種分配的實際意義是不同行業的酬勞。
這樣﹐同等工資還得再分三級﹐曰七等21級。如果你真有野心越等﹐那你就得去深造
﹐去改行。

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黃金分割率(Golden Ratio, or Golden Mean.)簡介

黃金分割率有兩個比值﹕
Φ=(1+√5)/2=1.618033988749894848204586834365638....﹔
φ= (-1+√5)/2=0.618033988749894848204586834365638....﹔
Φ叫舊黃金分割率﹐φ叫新黃金分割率。

一)金矩形(Golden Rectangle )

舊黃金分割率﹕
設原初矩形長邊為Φ、短邊為1﹔那麼﹐分割後餘下矩形的長邊就等於1﹐短邊等
於Φ-1。照定義要求兩矩形必須相似﹐即Φ/1=1/(Φ-1)﹔由此得出0=Φ2-Φ+1﹔依求
根公式[-b±√(b2-4ac)]/2a﹐Φ=(1+√5)/2=1.618...

新黃金分割率﹕
設原初矩形長邊為1+φ﹔兩矩形相似﹐即餘下矩形的長邊=1﹐短邊是φ。於是﹐
1+φ/1=1/φ﹔由此得出0=φ2+φ-1﹔依求根公式[-b±√(b2-4ac)]/2a﹐
φ=(-1+√5)/2=0.618...

新舊黃金分割率之不同﹐在於所指對象﹕舊黃金分割率Φ指矩形的長邊比短邊﹐
新黃金分割率φ指短邊比長邊﹐兩者照定義是互為倒數﹐1是100%﹔√5=2φ+1表
示一正兩偏格局。

從代數角度考慮﹐A) φ=1/Φ與B) Φ=φ+1乃是前提﹐
將A)代入B)﹐得Φ=1/Φ+1﹔即0=Φ2-Φ-1﹔Φ=(1+√5)/2=1.618...
將B)代入A)﹐得φ=1/(φ+1)﹔0=φ2+φ-1﹔φ=(-1+√5)/2=0.618...

二)金三角(Golden Triangle)。
從等腰三角底角引線﹐交於對邊分出兩個等腰三角形﹐謂金三角。
即﹐從A角引線交於對邊D﹐照定義要求AB=AD﹔ AD=CD。
兩等腰三角形共用底角B﹐ 所以相似﹔即﹐ BC/AB=AB/BD﹔
因為BC=BC+CD﹔ 所以﹐ (CD+BD)/AB=AB/BD﹔
又因AB=AD=CD﹐所以(AB+BD)/AB=1+BD/AB=AB/BD;
若φ=BD/AB﹐則上式可改寫為1+φ=1/φ。
0=φ2+φ-1﹐φ=(-1+√5)/2=0.618... 
這樣的等腰三角﹐其頂角必然是36o。

從金三角還可以推出“金五角”。

三)金線段

從線段分割考慮﹐黃金分割是要求所分線段具相同比值。
設原初線段為1﹐將1分成φ+(1-φ)後﹐照定義要求1/φ=φ/(1-φ)﹔
0=φ2+φ-1﹐φ= (-1+√5)/2=0.618...
這是最簡單、明了的解說。

無理數的性質

黃金分割率是個無限而不循環的數字。我們說﹐1/3雖然分不盡﹐但小數點後面都
是3的重復﹐因此是可知的﹐可用數列表達的﹔1/7分雖不盡﹐卻都是[142857]的循
環﹐也是可知的﹐可用數列表達的。這是分數的特點。
黃金分割率0.618033988749894...則是一個不重復、不循環的無理數﹐你就是用電
腦 計算一萬年也無法預知繼續分下去會出現什麼數字。

無理數之困惑在於﹐你說它是真實的﹐卻不能用整數、小數或分數表示﹔你說它
不真實﹐我卻能用幾何工具把它畫出來﹐比如﹐用邊長為1的正方形畫√2的長度。
常言知易行難﹐人於無理數則是知難行易。而更難以置信的是﹐自然界大量存在
著黃金分割事例。可見黃金分割不單是人腦推理產物﹐它也是造物法則之一。

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哲學線路圖﹕先驗後驗、分析綜合

先驗(a priori)知識對象是理念、法則﹐如形而上法則、道德律、審美律、數形、
邏輯、語法規則﹐哲學思維﹐智能游戲。它的內容、性質、對錯判定最終都落腳於
直覺(intuition)。先驗真理(a priori truth)有不證自明的(self-evident)﹐如數學公理﹔
有需要推論才能確立的﹐如數學定理。先驗爭辯(a priori argument)是抽象前提
的演譯(deduction)﹐是理順概念關係﹕它的真無需經驗支持﹐是邏輯的 必真(necessary truth)。

先驗不等於先天(innate)。許多先驗能力是在後天發展的﹐如數學教育。先驗的恰當取
義﹐通常是“先於經驗”的意思。


後驗(a posterior)也就是經驗﹐是靠感覺(perception)捕捉外物的意思。後驗爭辯(a
posterior argument)是運用感覺提供的信息去就事論事。它的真是“有條件的真”
(contingent truth)。科學是關於經驗的學問﹐但不就是經驗的堆砌﹐因為科學理論﹐包
括實驗的設計、觀察與記錄的方法﹐都是照邏輯或數學模型操作、解釋。照理性主義觀
點﹐所有知識均以先驗爭辯(a priori arguments)與先驗觀念(a priori ideas)為基礎。

感覺在意識層面綜合為表象(presentation)﹔經過歸納(induction)成為可傳授的知識
--書本的知識因此可還原成經驗--前提是教與學必須享有共同的先驗平台。


分析(analytic)陳述是分解概念內涵。比如﹐“白馬是馬”是將主部分成“馬”與
“白”﹕“馬”是一般的概念﹐“白”特征性的描述。分析陳述不增加任何新內容﹐因
此又稱闡釋(explicative)陳述。康德說﹐分析陳述的充要條件﹐是基於矛盾律(principle
of contradiction)的不可抗拒性﹔抗拒必然是從定義上否定概念所及的每一個體。比如﹐
否定“白馬是馬”意味著劉備騎的“的驢”不是馬。分析陳述之能如此斬釘截鐵﹐乃因
謂部內容是從主部釋出﹐所以是必真的。

人腦的分析功能是天生的。張三對馬一無所知﹐但他仍然能夠依著相似性分別馬群。
“依相似性分別”是運用直覺或遵循腦中固有法則的先驗行為﹔用視覺鑒定不同毛色則
是經驗行為。張三的經驗行為是在先驗法則指導下進行。在“白馬是馬”的陳述中﹐
“馬”是抽象、一般的存在。抽象的馬為概念提供鏈接端口﹔一般的馬用一個符號網羅
天下之馬。先驗的這種為經驗不能為的本事﹐叫“超越”(transcendent)。

分析是謂部使用主語裡的一般概念解說主語。比如﹐在“白馬是馬”的分析陳述中﹐
“馬”是一般概念﹐“白馬”是特殊概念--就算“馬”在張三那兒衹是一個空殼概念﹐
邏輯也照樣承認“馬”比“白馬”更一般。用“白”不能解釋“馬”是因為﹐作為概念
的“白”與作為概念的“馬”根本就是兩回事﹔而作為經驗的“白”則更是不能進入
“馬”的概念﹐因為不是所有的馬都是白的。但是﹐如果“白”是從概念外頭與“馬”
鏈接﹐那麼兩者就可以並行不悖﹐這種句子叫“綜合陳述”。

綜合(synthetic)陳述是謂部從概念外陳述主語﹐是主謂苟合。比如﹐“小狗失蹤”是
“小狗”與“失蹤”事件相挂鉤﹐是謂部對主語“羅織罪名”、添油加醋(ampliative)﹐
故稱“綜合”。這些不為主語概念的定義所涵蓋“概念外”的內容﹔大多是關乎主語
“如何”、“怎麼回事”、“何以如此”等涉及時間、地點、因果、條件的東西。康德
以前﹐這些內容被認為是經驗的存在﹐認為它們的真﹐是有條件的真(contingent truth)。

contingent一詞是表示看得見摸得著(具在)、有條件、偶然的意思﹐是經驗的條件性與
先驗的必真(necessary truth)相比較而突顯的特殊、相對、暫時性。經驗內容既為特定﹐
就無能以一般的面目出現在分析陳述中。這不等於經驗內容不能構成概念的一般內涵。
而衹是說﹐它不能構成分析陳述句中概念的一般內涵。很多人搞不清“鹽咸”、“火熱”
是分析還是綜合陳述。我們說﹐無疑是綜合﹐因為咸與熱作為經驗之談是不可分析的。
無鹽不咸、無火不熱衹是對人而言的contingent truth﹐但就事物本體而論﹐實無所謂咸或
熱。哲學是探討知識的性質、人與世界關係的學問﹐致力於排除知識中人的因素﹐“還
世界以本來面目”。

問題﹕是不是所有的綜合陳述都是經驗的﹖康德答曰﹕NO。

組合先驗、後驗與分析、綜合﹐就得到﹕

A﹐分析性質的先驗命題(analytic a priori proposition)﹔
B﹐綜合性質的先驗命題(synthetic a priori proposition)﹔
C﹐分析性質的後驗命題(analytic a posterior proposition)﹔
D﹐綜合性質的後驗命題(synthetic a posterior proposition)。
A(白馬是馬)與D(小狗失蹤)是兩種經典命題﹐是沒有爭議的。

C不成立。因為所有的分析都是先驗的。

B是康德的發明。康德認為所有數學判斷都是先驗綜合。比如﹐“三角形內角之和等於
一百八十度”﹐就是先驗綜合。說是先驗﹐是因為這樣的判斷不求助於經驗﹔說是綜合﹐
是因為判斷增添的內容不在概念的定義裡﹐比如“三角形是三邊圍成的幾何形狀”﹐並
不包含“內角之和等於一百八十度”。康德說﹐有先驗綜合才能有科學。當然科學不是
經驗堆積﹐而是具先驗判別能力的人﹐對大自然進行大膽的假設、積極的探索。

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