Επιστημονικά Βιβλία Εκδόσεις Κάτοπτρο

Τι είναι το Χάος;-Δυναμικές αστάθειες
5 μαθήματα

Από σελίδα του Πανεπιστημίου Austin-Texas

• Επιστροφή στην Εισαγωγή

ΜΑΘΗΜΑ 4ο : Δυναμικές αστάθειες

Έχοντας καταλάβει τι εννοούμε με τον Ντετερμινισμό, τις αρχικές συνθήκες και την απροσδιοριστία των μετρήσεων, μπορούμε τώρα να μάθουμε για τη δυναμική αστάθεια, η οποία για τους περισσότερους φυσικούς είναι ταυτόσημη με το χάος.

Η δυναμική αστάθεια αναφέρεται σε μια ειδική συμπεριφορά στον χρόνο η οποία συναντάται σε ορισμένα φυσικά συστήματα και ανακαλύφθηκε γύρω στο έτος 1900, από τον φυσικό Henri Poincare. O Poincare ήταν ο φυσικός που που ενδιαφέρθηκε για τις μαθηματικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ήλιο. Οι εξισώσεις της κίνησης των πλανητών είναι μια εφαρμογή των Νευτώνειων νόμων και ως εκ τούτου τελείως ντετερμινιστικές. Το ότι αυτές οι μαθηματικές εξισώσεις των τροχιών είναι ντετερμινιστικές σημαίνει ότι γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες,- οι οποίες στην περίπτωση αυτή είναι οι θέσεις και οι ταχύτητες των πλανητών μια δεδομένη αρχική στιγμή - μπορούμε να βρούμε τις θέσεις και τις ταχύτητες των πλανητών σε κάθε άλλη χρονική στιγμή στο μέλλον ή στο παρελθόν.

Φυσικά είναι αδύνατον να μετρήσουμε τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες των πλανητών με άπειρη ακρίβεια, ακόμα και αν διαθέτουμε τέλειες συσκευές μέτρησης, απλά και μόνο επειδή είναι αδύνατο να καταγραφεί κάθε μέτρηση με άπειρη ακρίβεια. Ως εκ τούτου πάντα υπάρχει μια ανακρίβεια, οσοδήποτε μικρή, σε όλες τις αστρονομικές προβλέψεις που γίνονται από τις εξισώσεις των νόμων του Νεύτωνα.

Μέχρι τον καιρό του Poincare, η έλλειψη άπειρης ακρίβειας στις αστρονομικές προβλέψεις εθεωρείτο πρόβλημα μικρής σημασίας, λόγω μιας σιωπηρής υπόθεσης όλων των φυσικών μέχρι την εποχή εκείνη. Η υπόθεση ήταν ότι αν μπορούσαμε να μικρύνουμε την απροσδιοριστία στις αρχικές συνθήκες - ίσως χρησιμοποιώντας τελειότερα όργανα - η ανακρίβεια στην πρόβλεψη θα μίκραινε κατά τον ίδιο τρόπο. Με άλλα λόγια, βάζοντας περισσότερο ακριβείς πληροφορίες στους νόμους του Νεύτωνα, παίρνεις πιο ακριβή αποτελέσματα για κάθε μεταγενέστερη ή προηγούμενη στιγμή. Έτσι υπέθεταν όλοι ότι θεωρητικά ήταν δυνατόν να πετύχουμε σχεδόν τέλειες προβλέψεις για τη συμπεριφορά κάθε φυσικού συστήματος.

Ο Pοincare όμως παρατήρησε ότι ορισμένα αστρονομικά συστήματα δεν φαίνονταν να υπακούουν τον κανόνα ότι ελαττώνοντας την απροσδιοριστία των αρχικών συνθηκών ελαττωνόταν επίσης κατ' αντίστοιχο τρόπο η απροσδιοριστία της τελικής πρόβλεψης. Εξετάζοντας τις μαθηματικές εξισώσεις αυτός βρήκε ότι αν και ορισμένα απλά αστρονομικά συστήματα υπάκουαν στον κανόνα των αντίστοιχων ελαττώσεων των απροσδιοριστιών για τις αρχικές συνθήκες και τις τελικές προβλέψεις, άλλα συστήματα δεν υπάκουαν σ' αυτόν.

Τα αστρονομικά συστήματα που δεν υπάκουαν σ' αυτόν τον κανόνα αποτελούνταν τυπικά από τρία ή περισσότερα αστρονομικά σώματα με αλληλεπιδράσεις μεταξύ και των τριών. Γι αυτούς τους τύπους συστημάτων ο Poincare έδειξε ότι μια πολύ μικρή ανακρίβεια στις αρχικές συνθήκες, αυξανόταν με τον χρόνο με τεράστιο ρυθμό. Έτσι δύο σχεδόν πανομοιότυπα σύνολα αρχικών συνθηκών για το ίδιο σύστημα, θα κατέληγαν σε δύο τελικές προβλέψεις οι οποίες διέφεραν πάρα πολύ η μία από την άλλη.

Ο Poincare απέδειξε μαθηματικά ότι αυτή η μεγέθυνση μικρών απροσδιοριστιών στις αρχικές συνθήκες σε τεράστιες απροσδιοριστίες στις τελικές προβλέψεις, παρέμενε ακόμα και αν οι αρχικές αβεβαιότητες μίκραιναν στο πιο μικρό μέγεθος που μπορούσαμε να φανταστούμε.

Γι αυτά τα συστήματα δηλαδή, ακόμα και αν μπορούσαμε να καθορίσουμε τις αρχικές μετρήσεις εκατό φορές ή ένα εκατομμύριο φορές ακριβέστερα, η αβεβαιότητα για μεταγενέστερους ή προηγούμενους χρόνους δεν θα ελαττωνόταν αλλά θα παρέμενε τεράστια.

Το συμπέρασμα της μαθηματικής ανάλυσης του Poincare ήταν μια απόδειξη ότι γι αυτά τα σύνθετα συστήματα, ο μόνος τρόπος να πετύχουμε προβλέψεις με κάποιο βαθμό ακρίβειας, θα ήταν να καθορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με άπειρο βαθμό ακρίβειας. Γι αυτά τα αστρονομικά συστήματα κάθε ανακρίβεια οσοδήποτε μικρή θα κατέληγε μετά από ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα σε μια αβεβαιότητα της ντετερμινιστικής πρόβλεψης η οποία μόλις που θα ήταν μικρότερη αν η πρόβλεψη είχε γίνει τελείως στην τύχη.

Η ακραία ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες, η οποία παρουσιάζεται μαθηματικά στα συστήματα που μελέτησε ο Poincare έχει επικρατήσει να λέγεται δυναμική αστάθεια ή απλά χάος.

Επειδή μακροχρόνιες μαθηματικές προβλέψεις που αφορούν χαοτικά συστήματα δεν έχουν περισσότερη ακρίβεια από τις προβλέψεις στην τύχη, οι εξισώσεις κίνησης μπορούν να δώσουν μόνο βραχυχρόνιες προβλέψεις που να έχουν όποιο βαθμό ακρίβειας επιθυμούμε.

Αν και η εργασία του Poincare θεωρήθηκε σημαντική από μερικούς διορατικούς φυσικούς του καιρού του, πολλές δεκαετίες θα περνούσαν πριν οι συνέπειες των ανακαλύψεών του να αναγνωριστούν από την επιστημονική κοινότητα συνολικά. Ένας λόγος ήταν ότι αρκετό μέρος της επιστημονικής κοινότητας των φυσικών ήταν απασχολημένο με τις νέες ανακαλύψεις στον καινούριο κλάδο της φυσικής, την κβαντομηχανική, η οποία είναι η φυσική στον ατομικό κόσμο.