Μελέτη του Χάους

Η μελέτη του χάους προϋποθέτει τη χρήση της 'γλώσσας' των μαθηματικών.
Ας πάρουμε για αρχή την κίνηση ενός ιδανικού εκκρεμούς που είναι το κλασικό παράδειγμα στο μάθημα της φυσικής. Μετά από μια ώθηση, κινείται μπρος-πίσω μέχρι να ηρεμήσει και πάλι στο κέντρο. Η κεντρική αυτή θέση είναι το σημείο έλξης του συστήματος - σε όποια θέση και αν αφήσουμε το εκκρεμές, αυτό θα έλκεται από αυτό το σημείο. Δεν διαθέτουν όλα τα συστήματα ένα τέτοιο σημείο, Μερικά έχουν τόσο πολύπλοκη δόμηση και συμπεριφορά, ώστε να καταλήγουμε να μιλάμε για "χώρους" έλξης.
Εδώ πρέπει να ξαναμιλήσουμε για διαστάσεις. Οι διάφορες παράμετροι της συμπεριφοράς του εκκρεμούς μπορούν να οριστούν σαν άλλες διαστάσεις. Υπάρχουν τουλάχιστον τέσσερις, οι τρεις του χώρου (x,y,z) και ο χρόνος. Αν το ίδιο το εκκρεμές είναι μια ανεστραμμένη αλατιέρα, τότε το βάρος του θα αλλάζει καθώς θα χύνεται το αλάτι. Το βάρος γίνεται η πέμπτη διάσταση.
Τώρα πρέπει να κάνετε μια κίνηση εμπιστοσύνης προς τα μαθηματικά. Να θεωρήσετε τον πενταδιάστατο αυτό χώρο σαν σύστημα αναφοράς, οπότε η συμπεριφορά ενός συστήματος θα περιγράφεται σαν μια τροχιά που διαγράφεται σε αυτόν τον ιδεατό χώρο.
Ενα από τα βασικά χαρακτηριστικά του χάους είναι τα παράξενα .'σημεία έλξης" που διαθέτει. Αντίθετα με το απλό παράδειγμα του ιδανικού εκκρεμούς, τα χαοτικά συστήματα έλκονται προς παράξενα και πολύπλοκα σχήματα, Αυτό δεν είναι εύκολο - σχεδόν αδύνατο να το αντιληφθούμε, δεδομένου ότι αναφερόμαστε σε πολυδιάστατους χώρους.

Ελκυστές

Στην κλασική μηχανική, η συμπεριφορά ενός δυναμικού συστήματος μπορει να περιγραφει γεωμετρικα ως κίνηση προς έναν ελκυστή. Οι ελκυστές θεωρούνται ότι είναι σημεία, καμπύλες, στερεά που ακριβώς έλκουν ένα συγκεκριμμένο φαινόμενο. Σε ένα ταλαντούμενο σώμα ο ελκυστής είναι το κατώτατο σημείο που σταματάει. Ο ελκυστής του αριθμού των ψαριών μιας μολυσμένης θάλασσας μπορεί να είναι το μηδέν, η έλλειψη της ζωής. Στα μαθηματικά της κλασικής μηχανικής ήταν γνωστοί τρεις τύποι ελκυστών: μεμονωμένα σημεία (που χαρακτηρίζουν σταθερές καταστάσεις) , κλειστοί βρόχοι (περιοδικές κινήσεις σε «κύκλους») και δακτύλιοι ( συνδυασμοί διαφόρων «κύκλων» ).

Ο Ελκυστής του Lorenz. Αυτή η εικόνα έγινε το σύμβολο του Χάους στα πρώτα χρόνια. Αποκαλύπτει τη μικροσκοπική δομή που ήταν κρυμμένη μέσα σε μια άτακτη ροή δεδομένων. Είναι ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς μεταβλητές. Κάθε στιγμή, οι τρείς μεταβλητές προσδιορίζουν τη θέση ενός σημείου στον τρισδιάστατο χώρο. Καθώς το σύστημα μεταβάλλεται, η κίνηση του σημείου θα παριστάνει τις συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές. Επειδή το σύστημα δεν επαναλαμβάνεται από μόνο του, η τροχιά δεν τέμνει τον εαυτό της ποτέ, αλλά δημιουργεί βρόχους επ'αόριστον. Η απεικόνιση αυτή εμφανίζει ένα είδος άπειρης πολυπλοκότητας. Η μορφή αυτή μοιάζει σαν δύο φτερά μιας πεταλούδας ή σαν ένα είδος διπλής έλικας. Το σχήμα φανερώνει μια καθαρή αταξία, αλλά και ένα νέο είδος τάξης.

Κατά την δεκαετία τού 1960 ανακαλύφθηκε από τον Αμερικανό μαθηματικό Stephen Smale μια νέα τάξη παράξενων ελκυστών προς τους οποίους η δυναμική είναι χαοτική .
Αργότερα διαπιστώθηκε ότι οι παράξενοι ελκυστές έχουν λεπτομερή δομή σε όλες τις κλίμακες μεγέθυνσης. Αμεσο αποτέλεσμα αυτής τής διαπίστωσης ήταν η ανάπτυξη τής έννοιας του fractal (μίας τάξης πολύπλοκων γεωμετρικών σχημάτων που όλα παρουσιάζουν την ιδιότητα τής αυτοομοιότητας), που με την σειρά του οδήγησε σε αξιοσημείωτες εξελίξεις στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή.

Υπολογισμός του Χάους

Αλλά αν έχετε ακόμη πρόβλημα με το τι είναι το Χάος, σας λέμε πως το Χάος δεν σχετίζεται με περίπλοκα συστήματα και αφηρημένες έννοιες --μπορείτε να τα δείτε με αριθμούς. Προσπαθήστε να υπολογίσετε την επαναληπτική  συνάρτηση: 2x² - 1, με μια αρχική τιμή για το x μεταξύ του 0 και του 1.
Αν δεν είστε εξοικιωμένοι με την ιδέα των επαναληπτικών συναρτήσεων, σας λέμε πως αυτό σημαίνει πως λαμβάνεται την τιμή της συνάρτησης που πήρατε για κάποια τιμή του x και την τιμή αυτή την τοποθετείται στη θέση του x για να ξεκινήσετε εκ νέου την ίδια διαδικασία, υπολογισμός της συνάρτησης κλπ.
Μπορείτε να το κάνετε με ένα υπολογιστήρι ή με ένα πρόγραμμα στο computer ή να χρησιμοποιήσετε ακόμη και ένα spreadsheet (φύλλο λογιστικής).
Για να γίνει επιλέγει η αρχική τιμή x=0.75.  Αν κοιτάξετε το γράφημα της συνάρτησης, μπορείτε να δείτε μια μικρή ανωμαλία, αλλά όχι ασυνήθιστη. Το ενδιαφέρον όμως στην περίπτωση μας είναι πως αν διαλέξετε μια τιμή πολύ κοντά στην αρχική τιμή πχ 0.74999, και κάνετε το γράφημα, εσείς θα διαπιστώσετε πως είναι μεν αρχικά όμοιο με το πρώτο αλλά μετά γίνεται τελείως διαφορετικό. Αυτό εν ολίγοις, μας λέει πως οι αρχικές συνθήκες σε ένα δυναμικό σύστημα μπορούν να αλλάξουν ριζικά προς τα που θα πάει το σύστημα μας. Θυμείτε την πεταλούδα, που το πέταγμα της φέρνει θύελλες στην άλλη άκρη της Γης. Δείτε το γράφημα μας.