Ενας οδηγός του Χάους σε αρχάριους - Fractal-Σύνολα Mandelbrot και Julia |
FractalΣχεδόν ο καθένας μας έχει
θαυμάσει κάποιες εικόνες fractals από αυτές που
κυκλοφορούν κατά χιλιάδες σε ημερολόγια,
περιοδικά, ψυχεδελικά σχέδια κλπ. Η χρήση τους
επεκτάθηκε από τη στιγμή που μπήκαν εδώ και
είκοσι χρόνια τα computers αφού είναι σύνθετα
σχέδια που δημιουργούνται με τη βοήθεια
πολύπλοκων υπολογισμών. Αλλά ενώ οι εικόνες
είναι πολύπλοκες, το πρόγραμμα (software) που
απαιτείται δεν είναι, αφού η σχεδίαση των εικόνων
βασίζεται στην επανάληψη ενός μοτίβου, που
σχεδιάζεται με τη βοήθεια μιας συνάρτησης. Οι περισσότεροι από μας όταν
ακούνε σχέδια ή σχήματα έχουν στο μυαλό τους
κάποια ευκλείδια γεωμετρικά σχήματα. Αλλά τα
fractals διαφέρουν από αυτά σε δύο παράγοντες: Τα Fractal είναι μία τάξη πολύπλοκων
γεωμετρικών μορφών που έχουντην ιδιότητα της
αυτοομοιότητας. Τα Fractal διαφέρουν από τα απλά
σχήματα της κλασικής ή ευκλείδειας γεωμετρίας -
το τετράγωνο, τον κύκλο, την σφαίρα κ.λπ. "Η προς εαυτόν ομοιότητα" και η "χαμηλή περιεκτικότητα πληροφοριών" είναι δύο βασικά χαρακτηριστικά των fractals. Μολονότι όλα τα Fractals δεν έχουν
την ιδιότητα της αυτοομοιότητας ή δεν την έχουν
ακριβώς, τα περισσότερα την επιδεικνύουν. Ουσιαστικά ένα αυτοόμοιο αντικείμενο παραμένει αναλλοίωτο σε αλλαγές κλίμακας, έχει δηλαδή συμμετρία κλίμακας. Αυτό το φαινόμενο μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί, στις νιφάδες τού χιονιού ή στον φλοιό τών δένδρων.
Το ανωτέρω σχήμα δείχνει ένα
ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο
κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα
όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία
επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως
αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Κωχ. Στο παραπάνω παράδειγμα, η
περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με
αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον
λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην
οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D
= 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού
fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή
πρoσεγγιστικά 1 ,26. Εφαρμογές fractalsΗ γεωμετρία fractal με τις έννοιες τής αυτοομοιότητας και τής μη ακέραιης διάστασης έχει εφαρμοστεί με αυξανόμενη συχνότητα στην στατιστική μηχανική, σε φυσικά συστήματα που δείχνουν φαινομενικά τυχαία χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα έχουν γίνει προσομοιώσεις fractal για να σχεδιαστεί η κατανομή σμηνών γαλαξιών στο Σύμπαν και για να μελετηθοίιν προβλήματα που σχετίζονται με την διαταραχή ενός ρευστού. Η γεωμετρία fractal επίσης συνέβαλε πολύ στα γραφικά με ηλεκτρονικό υπολογιστή, όπου με αλγορίθμους fractal έχουν σχεδιαστεί σχήματα πολύπλοκων, εξαιρετικά ακανόνιστων φυσικών αντικειμένων, όπως είναι μορφολογικά ανώμαλα όρη και περίπλοκα συστήματα κλάδων δέντρων. Η γεωμετρία του Χάους είναι η γεωμετρία των fractalsΑλλά γιατί τα fractals συνδέθηκαν τόσο πολύ με τα χαοτικά συστήματα; Ξέρουμε από την ευκλείδια γεωμετρία ότι οι γραμμές έχουν μία διάσταση, οι επιφάνειες δύο και οι όγκοι τρείς διαστάσεις. Αντιθέτως τα fractals δεν έχουν ακέραιες διαστάσεις, αλλά μπορεί να είναι μη ακέραια πχ ανάμεσα στο 2 και στο 3 αν είναι καμπύλη. Οσο πιό μεγάλη είναι η διάσταση τους τόσο πιό τραχιά είναι η εμφάνιση του. Μια τυπική βραχώδης ακρογιαλιά, αν τη δούμε σαν fractal γραμμή τότε έχει διάσταση 1.215. Ολα δε τα αντικείμενα που ένα μικρό τμήμα τους μοιάζει με ένα μεγαλύτερο θεωρείται fractal. 'Eνα τυπικό παράδειγμα fractal είναι
το σύνολο τού Mandelbrot. |
|
Σύνολα Mandelbrot και Julia (Ζυλιά)
Το σύνολο Mandelbrot είναι ένας κατάλογος όλων των δυνατών συνόλων Julia. To σύνολο Mandelbrot είναι τα πιό φημισμένα fractal επειδή είναι εξαιρετικά σύνθετο και ήταν το πρώτο που ανακαλύφθηκε από τον ιδρυτή της fractal γεωμετρίας: τον Benoit Mandelbrot. Το σύνολο Manelbrot είναι από τα πιό σύνθετα σχήματα της Γεωμετρίας. Ο τύπος για να τα σχεδιάσουμε στον υπολογιστή είναι Ζn+1=Z2n+K. Η συνταγή λοιπόν είναι η εξής: Παίρνουμε ένα αριθμό, τον πολλαπλασιάζουμε στον εαυτό του και τον προσθέτουμε στον σταθερό Κ. Εξετάζουμε αν η σειρά από τα σημεία που προκύπτουν βγαίνει έξω από ένα κύκλο με ακτίνα ίση με δύο. Αν δεν βγαίνει, τότε το πρώτο σημείο, εκεί όπου ξεκίνησε, ανήκει στο σύνολο Mandelbrot και θα παριστάνεται σαν μια μαύρη κουκίδα. Ετσι βρίσκοντας πολλά σημεία αρχίζει να ξεκαθαρίζει το σχήμα που φτιάξαμε. Και έχει την παράξενη ιδιότητα ένα τμήμα του να μοιάζει με ολόκληρο το fractal. Φτάνει να παραστήσουμε κάποιο κομμάτι και θα καταλάβουμε πως είναι το ολόκληρο. Αλλά ποιό είναι το ολόκληρο; Αυτό που χωράει σε ένα χαρτί, σε ένα τεράστιο χαρτόν ή που χωράει σε όλη την Αθήνα; Παράδειγμα Το σύνολο του Mandelbrot είναι ένα συνδεδεμένο σύνολο από σημεία στο μιγαδικό επίπεδο. Αν θεωρήσουμε κάποιο σημείο Z0 στο μιγαδικό επίπεδο. Τότε το σημείο Z1 δημιουργείαι από το Z0 ως εξής:
Αν η ακολουθία Z0, Z1, Z2, Z3, ... παραμένει εντός του κύκλου με ακτίνα 2 πάντα, τότε το σημείο Z0 λέγεται πως ανήκει στο σύνολο Mandelbrot. Εαν η ακολουθία αποκλίνει από το αρχικό σημείο, τότε το σημείο δεν ανήκει στο σύνολο. Δημιουργία Fractal Εστω ότι θέλουμε να φτιάξουμε
κάποιο fractal, ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση Y=X2.
Για να φτιάξουμε το σύνολο αυτό, κάθε φορά στη
θέση του X βάζουμε το Y που βρήκαμε. Τι θα γίνει όμως αν αντί για 1.01
βάλουμε 0.99 στη θέση του X; Θα πάρουμε τους εξής
αριθμούς: Είναι λοιπόν ξεκάθαρο προς τα που οδηγεί η μικρή αλλαγή του Χ από 1.01 σε 0.99, στο Χάος, στο απρόβλεπτο.
|