UNIDAD 4: : PROGRAMACION DE PROYECTOS CON PERT-CPM

 

Introducción histórica. PERT-CPM. Principios básicos del PERT: Proyecto. Suceso. Grafo. Numeración de sucesos. Actividades ficticias (dummy): concepto y campo de aplicación. Etapas de un proyecto. Listado de actividades. Diagrama de precedencias. Camino crítico. Cálculo de tiempos “temprano” y “tardío”. Determinación de las holguras. Consideraciones de probabilidad en la programación de proyectos. Construcción del diagrama de tiempo y nivelación de recursos. El costo en la programación de proyectos. Resumen del proyecto. Manejo de software específico.

 

Bibliografía

 

1.                   Investigación de operaciones - Taha, Hamdy - Ed. Alfaomega - 1991 - 2ª edición

2.                   Técnicas de redes de flechas y precedencias para construcción - Harris, Robert - Ed. Limusa - 1983

3.                  PERT-CPM y técnicas relacionadas - Munier, Nolberto - Ed. Astrea - 1981 - 5ª edición revisada

4.                  Administración de proyectos con PERT-CPM - Prado, Darci - Paraninfo S.A. - 1988

 

 

CONCEPTOS:

 

Un proyecto define una combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes de que el trabajo completo pueda terminarse. Las actividades están interrelacionadas en una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras se hayan terminado. Una actividad en un proyecto usualmente se ve como un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminación. En general, un proyecto es un esfuerzo de sólo un periodo; esto es, la misma sucesión de actividades puede no repetirse en el futuro.

 

La programación de proyectos consiste en tres fases básicas: PLANEACION, PROGRAMACION y CONTROL.-

 

La fase de PLANEACION se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas. Se determinan las estimaciones de tiempo para estas activida­des  y luego se construye un diagrama de red (o de fle­chas), donde cada uno de sus arcos representa una actividad. La red completa da una representación gráfica de las interdependencias entre las distintas actividades del proyecto.

 

El fin de la PROGRAMACION es construir un diagrama de tiempo que muestra los tiempos de iniciación y terminación para cada actividad, así como su relación con otras actividades. Además debemos señalar las actividades críticas en función del tiempo y  para las actividades no críticas el programa debe mostrar los tiempos de holgura que puedan utilizarse con ventaja cuando se deben usar eficientemente recursos limitados.

 

Por último el CONTROL se limita a verificar el cumplimiento del programa.-

 

HISTORIA DEL PERT‑CPM

 

En el pasado, la programación de un proyecto (en el tiempo) se hizo con poca planeación. La mejor herramienta conocida de "planeación" entonces era el diagrama de barras de Gantt el cual especifica los tiempos de inicio y de terminación de cada actividad en una escala de tiempo horizontal.

La administración de proyectos ha evolucionado como un nuevo campo con el desarrollo de dos técnicas analíticas para la planeación, programación y control de proyectos.

Los sistemas de planeamiento, programación y control por el método del camino crítico, se desarrollaron a partir del año 1.957, como una tarea conjunta de equipos de trabajo de las compañías Du Pont de Nemours y Remington Rand, labor ésta que dio origen al método C.P.M., sigla de Crítical Path Method o sea Método del Camino Crítico.

En forma casi simultánea, otro equipo compuesto por miembros de la Oficina de Proyectos Especiales de la Marina de los Estados Unidos, de la compañía Lockheed Aircraft, y de la firma consultora Booz, Allen and Hamilton, desarrolló el método PERT, sigla de Program Evaluation and Review Technique, o sea Técnica de Revisión y Evaluación de Programas.

Este último fue aplicado con éxito al proyecto Polaris, es decir, la construcción de un submarino propulsado por energía nuclear, y capaz de lanzar proyectiles balísticos intercontinentales.

Ambos sistemas son similares en su concepción, pero diferentes en su aplicación, siendo el C.P.M. más apto para proyectos de construcción, lanzamiento de nuevos productos, etc., en tanto que el PERT se suele usar en proyectos de Investigación y Desarrollo.

 

Fijación del objetivo:

 

Como paso fundamental y básico, debe determinarse cuál es la meta u objetivo final, como así también fijar desde qué punto comienza a efectuar la planificación.

El objetivo debe ser claro, preciso y alcanzable, conforme a los medios que se disponen para ello.

 

Ejemplos de proyectos:

 

Construir un edificio, llevar a cabo una campaña militar, efectuar el montaje de una máquina, lanzar un nuevo producto al mercado

 

Ejemplos de objetivos:

 

Entregar el edificio terminado, dejar cumplido el propósito de la campaña, tener la máquina en funcionamiento, tener el producto a la venta.

Todos los objetivos a cumplir están ligados con el factor fecha de finalización del proyecto.

 

Listado de tareas:

 

Para llevar a cabo un proyecto, es necesario ejecutar, en un determinado orden, cierta cantidad de trabajos, que reciben el nombre de tareas o actividades.

Estas tareas deben enumerarse comenzando con la que da origen al proyecto, hasta terminar con la tarea que lo finaliza. Deben estar perfectamente definidas, y expresar con claridad lo que se debe ejecutar.

 

Ejemplo de tareas:

 

Excavar cimientos, abastecer la base x, construir la fundación de hormigón, preparar planes de propaganda

Las tareas deben listarse siguiendo un orden cronológico.

 

Discriminación de tareas:

 

Hay tareas que de por si, en su denominación encierran un conjunto de actividades paralelas o en serie, que deben efectuarse para cumplimentarlas.

Se presenta entonces el problema de discernir hasta qué punto es conveniente discriminar una tarea dada. Este punto está dado por el nivel al cual se efectúa la programación.

En efecto, por ejemplo en la construcción de un edificio, una de las tareas puede ser instalar compresores de aire acondicionado, no le interesa conocer todos los detalles de la operación en sí, tales como la secuencia del trabajo, técnica operativa, construcción de basamentos, etc.

En realidad, sólo le es útil conocer cuánto tiempo demandará la instalación de máquinas, sus pruebas, y cuándo estará ésta terminada. Pero no sucede lo mismo con el subcontratista a cargo del trabajo, ya que, necesita conocer una gran cantidad de detalles, a fin de poder planificar la marcha del trabajo y cumplir en término.

Las tareas deben discriminarse conforme al nivel donde se efectúe la planificación, y de un modo tal que permita su programación y control.

 

 

 

 

REGLAS PARA CONSTRUCCION DEL DIAGRAMA DE FLECHAS

 

En todo proyecto hay tareas que deben ser ejecutadas antes que otras, o en forma simultánea con otras, es decir, hay relaciones de orden que deben respetarse.

Por medio de la teoría de redes o de los grafos, puede indicarse en forma gráfica esta situación.

Si se representa con una flecha una tarea determinada, la relación de precedencia puede quedar indicada de la siguiente manera ilustrada en la figura


 

 

En este caso la tarea A está representada por la primera flecha, debe preceder a la tarea B, representada por la segunda flecha. Es evidente que una tarea puede preceder a varias, como puede verse en la figura


 

 

La tarea A precede a las tareas B, C y D, o lo que es lo mismo, estas últimas no pueden llevarse a cabo mientras no se haya finalizado la tarea A. Las tareas B, C y D pueden ejecutarse en forma simultánea o paralela, pudiendo también decirse que la iniciación de una cualquiera de ellas no depende de las restantes. Los círculos o nodos que limitan las flechas, representan los eventos, o sea instantes en que comienza o termina una determinada tarea. Los nodos se identifican por números y las tareas suelen indicarse según el par de números de sus respectivos nodos.

 


 

Puede representarse el caso ilustrado:


 

 

La tarea 1‑2 debe preceder a las tareas 2‑3 y 2‑4 . La tarea 2‑4 debe preceder a la 4‑5. pero ésta no puede comenzarse hasta que terminada la tarea 2‑3. Esta sujeción o condicionamiento se indica uniendo el nodo 3 con el nodo 4 por medio de trazos, llamada Dummy (ficticio). Cada tarea tiene un tiempo estimado de ejecución, el cual se indica colocando bajo la flecha distintiva de la misma, un número que representa este tiempo, medido en horas, días, semanas, etc.

 

Para indicar analíticamente estos tiempos, suele usarse la notación Di,j significando entonces que el tiempo transcurre para realizar la tarea acotada entre los nodos i y j. No es necesario dibujar a escala las flechas representativas de las tareas, ya que su longitud es función de la comodidad del dibujo, y no del lapso que representan. Al confeccionar el diagrama de flechas o de precedencias es muy útil emplear tres reglas sencillas que permitan dibujar éste con seguridad y precisión, anulando la posibilidad de omitir una tarea. Al analizar una tarea dada, se  deben formular las siguientes preguntas

 

1‑ ¿Qué tarea o tareas deben preceder inmediatamente a ésta.?

2‑ ¿Qué tarea o tareas pueden efectuarse en forma paralela o simultáneamente con ésta.?

3‑ ¿Qué tarea o tareas deben seguir inmediatamente a ésta.?

 

Luego se confecciona el siguiente cuadro:

 

Actividad

Duración

Predecesora

1-2

2 días

 

1-3

1 día

 

1-7

3 días

 

2-4

4 días

 1-2

2-5

3 días

 1-2

3-5

3 días

 1-3

3-6

1 día

 1-3

3-7

9 días

 1-3

4-10

4 días

 2-4

4-8

6 días

 2-4

5-8

2 días

 2-5,3-5

5-9

8 días

 2-5,3-6

6-8

0 días

 3-6

6-9

2 días

 3-6

7-9

4 días

 1-7, 3-7

8-10

2 días

 4-8, 5-8, 6-8

9-10

3 días

 5-9, 6-9, 7-9

10-11

3 días

 4-10, 8-10, 9-10

 

Con el orden que arroja el cuadro y con las consideraciones siguientes, comienzo a armar la red.

 

·       Cada actividad esta representada por una y solo una flecha de la red.

 

                      A  (evento)                      B (evento)

 


                                     Actividad

 

 

 

 


·       Dos actividades diferentes no pueden identificarse por los mismos eventos o nodo terminal y nodo de comienzo.

 

Esta metodología de trabajo permite construir un diagrama de flechas representativo y que refleje las verdaderas interrelaciones entre las tareas que componen al proyecto, hacienda difícil el hecho de omitir involuntariamente una tarea, dado que cada una se apoya en todo o en parte del trabajo ya realizado.

 

Noción de camino crítico:

 

 

CALCULO DE LA RUTA CRÍTICA

 

 

Se dice que una actividad es crítica cuando una demora en su comienzo demorará la fecha de terminación del proyecto total.

 

Una actividad no crítica es tal que el tiempo entre su comienzo más tem­prano y su terminación más tardía es más grande que su duración total. A esta diferencia se la llama tiempo de holgura.

 

 

DETERMINACION DE LA RUTA CRÍTICA

 

 

Se define como una cadena de actividades críticas que conectan los eventos de inicio y fin del diagrama de flechas. Los cálculos incluyen dos fases:

 

 

·       La primer fase se llama paso hacia adelante (de inicio a fin) y en cada nodo se calcula un número que representa el tiempo de ocurrencia más temprano del evento.

·       La segunda fase se llama paso hacia atrás (de fin a inicio) y el número calculado representa el tiempo de ocurrencia más tardío del evento correspondiente.

 

 

 

TIEMPO TEMPRANO (TIP): es el tiempo estimado en el que ocurrirá el evento si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible. Esto se obtienen al efectuar un paso hacia adelante a través de la red, comenzando con los eventos iniciales y trabajando hacia adelante en el tiempo hasta los eventos finales.

 

Llamada con línea 3: Tiempo más tempranoSea TIPi el tiempo de inicio más temprano de todas las actividades que se inician en el evento i, entonces:

 

 

 
                

    TIPj = maxi ( TIPi + Di,j )  

Llamada con línea 3: Duración de la actividad
 

 


(para todas las actividades i,j)

                

 

TIEMPO TARDIO (TTT):  es el último momento estimado en el que puede ocurrir, sin retrasar la terminación de un proyecto, más allá de su tiempo más próximo. Se obtienen sucesivamente para los eventos al efectuar un paso hacia atrás a través de la red, comenzando con los eventos finales y trabajando hacia atrás en el tiempo hacia los iniciales.

 

 

Sea TTTj el paso hacia atrás (tiempo de terminación más tardío), para todas las actividades que está en el evento i:

 

 

 

Llamada con línea 3: Terminación
más tardía

 

 

TTTi = mini ( TTTj - Di,j )

 

 

Llamada con línea 3: Duración de la actividad(para todas las actividades i,j)

                

 

            Secuencia de cálculo:

 

 

 

Etapa 1: TIP

Punto de partida: etapa inicial

Secuencia de cálculo: de inicio a fin

Convenio: el TIP de la etapa inicial es cero

Fórmula:

Se consideran todas las actividades que llegan a la etapa j en cuestión y se calcula:

TIPj = maxi ( TIPi + Di,j ) . Se elige, entonces, el mayor valor.

 

Etapa 2: TTT

Punto de partida: etapa final

Secuencia de cálculo: de fin de inicio

Elección del valor: el TTT de la etapa final es elegido de entre las opciones:

- Fecha contractual

- El propio valor de TIP

Fórmula:

Se consideran todas las actividades que llegan a la etapa 1 en cuestión

TTTi = mini ( TTTj - Di,j ). Se elige, entonces, el valor menor.

 

La ruta crítica está compuesta por todas las actividades que cumplen las siguientes condiciones:

 

 

 

                                         TIPi = TTTi

                                         TIPj = TTTj

                                         TIPj - TIPi = TTTj - TTTi = Di,j

 

DETERMINACION DE LAS HOLGURAS

 

La holgura para un evento es la diferencia entre su tiempo más lejano y su tiempo más próximo.

 

La holgura para una actividad (i,j) es la diferencia entre el tiempo más lejano del evento j y el tiempo más próximo del evento i más el tiempo estimado para la actividad.

 

La holgura para un evento indica cuanto retraso se puede tolerar para llegar a ese evento sin retrasar la terminación del proyecto, y la holgura para una actividad indica lo mismo respecto a un retraso en la terminación de esa actividad. Existen holguras negativas y su efecto es que retrasan el proyecto.

 

Para determinarlas se definen:

 

TITij : tiempo de inicio más tardío

TTPij : tiempo de terminación más temprano

 

TITij = TTTj - Dij

TTPij = TIPi + Dij

 

HOLGURA TOTAL: el tiempo máximo disponible menos la duración de la actividad.

 

 

 

 

                 HTij = TTTj - TIPi - Dij  = TITij - TIPij = TTTj - TTPij

 

 

 

HOLGURA LIBRE: cuya característica principal es que su desplazamiento no afecta las actividades siguientes

 

 

 

                 HLij = TIPj - TIPi - Dij

 

 

Las actividades críticas tienen ambas holguras 0, siendo esto una condición necesaria pero no suficiente.

 

 

CUADRO RESUMEN DE UN PROYECTO

 

 

 

 

Temprano

Tardío

 

 

Actividad

(i,j)

Duración

Di,,j

Inicio

TIPi

Termina

TTPij

Inicio

TITij

Termina

TTTj

Holg Total

HTij

Holg Libre

HLij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Caso práctico

 

El diagrama de flechas o de precedencias de la siguiente figura representa las operaciones necesarias para llevar a cabo un proyecto dado. Tal diagrama recibe el nombre de grafo.

Las cantidades bajo las flechas indican la duración de las actividades o tareas en días. Es de utilidad seguir una norma para la numeración de los nodos. Una de ellas puede ser la siguiente: comenzar la numeración del primer nodo, y avanzar hacia la derecha. Cuando hay varias tareas simultáneas, adoptar el criterio de numerar en orden creciente de arriba hacia abajo. Si el objetivo debe estar finalizado en una fecha dada, interesa conocer en qué fecha debe comenzar el primer trabajo, a fin de que el proyecto se cumpla en su totalidad y en la fecha prevista.

 

Para resolver este problema se procede de la siguiente manera:

 

Se asigna al nodo 1 o inicial el valor de tiempo cero ( 0); a1 evento señalado por el nodo 2 se llegará en el instante t = 0 + 2 = 2; y por lo tanto, se coloca el valor de 2 sobre el nodo 2. E1 valor así obtenido representa el mínimo tiempo en que puede alcanzarse el evento y constituye, por lo tanto,  el instante o fecha más temprana en que pueden comenzarse las tareas que parten del nodo analizado. Al analizar el evento del nodo 7 se advierte que a él llegan dos flechas, que están indicando que las tareas 3‑7 y 1­-7 deben efectuarse antes de comenzar la tarea 7‑9 y así sucesivamente. Al obtener los valores analizando los nodos, debe elegirse el mayor, el cual se coloca en el lado izquierdo del nodo.

 

A través de los nodos analizados se deduce la metodología a seguir.

A)    asignación de fecha de iniciación cero al primer evento.

B)     se exploran los nodos o eventos sucesivos, asignando a cada uno el valor que resulta de sumar, al número de días que figura sobre la flecha que a él se dirige, la flecha más temprana correspondiente al nodo de donde parte la flecha.

C)     en aquellos nodos o eventos donde convergen varias flechas, se repite para cada una de éstas el procedimiento descrito más arriba, y entre todos los valores, se elige el mayor. Este valor se coloca sobre el evento analizado.

 

En esta forma se analizan los eventos hasta llegar al final.

 


 

Hasta aquí se ha tratado el diagrama de izquierda a derecha, y se ha encontrado el evento final. Ahora se tratará el diagrama de derecha a izquierda, siguiendo la metodología que aquí se detalla:

A)    asignación de la fecha de terminación sobre el valor del último evento, valor que se coloca en el lado derecho del nodo.

B)     exploración de los nodos o eventos sucesivos, asignando a cada uno el número que resulta de restar el valor que figura en el nodo hacia el cual se dirige la flecha, el valor del al duración que figura bajo dicha flecha.

C)     en aquellos nodos o eventos de donde parten varias flechas, se repite para cada una de ellas el procedimiento descrito más arriba y entre todos los valores se elige el menor. Este valor representa el instante o fecha más tardía en que puede tener lugar el evento.

 

En esta forma se analizan todos los eventos, hasta llegar al primero.

 


 

En algunos eventos coinciden los valores hallados para la fecha más temprana en que podía iniciarse una tarea dada y la fecha más tardía en que puede tener lugar el evento, a fin de no alterar la fecha de finalización del proyecto.

Cuando estos dos valores coinciden, no hay  tolerancia evidentemente entre ambas fechas, recibiendo los eventos donde se registra este hecho, el nombre de eventos críticos.

Hay tareas que no admiten demora alguna en sus tiempos de ejecución dado que de haberla ésta se reflejaría inmediatamente en el evento final, atrasando consecuentemente el proyecto. Estas tareas reciben el nombre de tareas críticas.

Hay tareas que sí admiten un cierto retraso, es decir tienen una determinada elasticidad que les permite absorber alteraciones en sus tiempos de ejecución. Tales tareas reciben el nombre de tareas no críticas.

La sucesión ordenada de tareas críticas determina un camino desde el evento o nodo inicial, hasta el evento o nodo final.

Tal camino es el de mayor duración que existe entre ambos nodos, y recibe el nombre de camino crítico. En el diagrama se muestra con un trazo más grueso que enlaza los nodos.

 


Actividad

Duración

Temprano

Tardío

Holgura

total

inicio

fin

inicio

fin

1-2

2

0

2

1

3

1

1-3

1

0

1

0

1

0

1-7

3

0

3

7

10

7

2-4

4

2

6

5

9

3

2-5

3

2

5

3

6

1

3-5

3

1

4

3

6

2

3-6

1

1

2

11

12

10

3-7

9

1

10

1

10

0

4-10

4

6

10

13

17

7

4-8

6

6

12

9

15

3

5-8

2

5

7

13

15

8

5-9

8

5

13

6

14

1

D1

0

2

2

15

15

13

6-9

2

2

4

12

14

10

7-9

4

10

14

10

14

0

8-10

2

12

14

15

17

3

9-10

3

14

17

14

17

0

10-11

3

17

20

17

20

0

 

Aplicación de probabilidades al ejemplo

 

Fundamentos:

En el ejemplo anterior del ejercicio del diagrama de flechas se ha trabajado con un tiempo estimado para la duración de cada actividad.

Esta estimación de la duración se efectúa en base a la experiencia que se posee sobre la tarea en estudio. Pero algunas veces es difícil determinar el tiempo de ejecución de una actividad, porque ésta suele ser variable, o porque no se conoce con exactitud, en virtud de ser una nueva tarea.

La aplicación del cálculo de probabilidades al grafo tiende a determinar un tiempo medio o esperado para cada tarea, tiempo éste que se utiliza para la determinación del camino crítico.

 

Estimaciones de tiempos

 

Si bien es difícil determinar a priori la duración de una tarea nueva o aleatoria, siempre es posible estimar cuál es el mínimo número de días que puede demandar su ejecución. De igual manera se puede apreciar cuál puede ser su duración normal.

El mismo razonamiento permite estimar el máximo número de días en que, sin tomar previsiones excesivas de tiempo, puede completarse la actividad.

El método PERT trabaja según este principio, para lo cual se formulan para cada tarea tres estimaciones de tiempo.

Tiempo optimista:(a): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que se den la condiciones favorables para ello.

Por ejemplo, en el caso de una construcción, la tarea construir losa de hormigón tiene un tiempo optimista, que se calcula suponiendo que las operaciones se harán en forma pertinentes se harán en forma precisa, sin pérdidas de material, con buenas condiciones atmosféricas, etc.

Tiempo normal (m): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que imperan condiciones normales de trabajo. Es el tiempo que la experiencia enseña, suele transcurrir para llevar a cabo la tarea analizada. Este valor debe estimarse con independencia de los otros dos.

Tiempo pesimista (b): Es el tiempo que se emplearía en efectuar la tarea, supuesto que se den las condiciones desfavorables para ello.

Por ejemplo, en el caso de planear una entrevista con una persona, la tarea del viaje en automóvil al lugar de la cita tiene un tiempo pesimista calculado en base a que durante dicho viaje se den una serie de hechos desfavorables tales como tránsito mayor que el normal, dificultad para estacionar, etc.

Se toma un valor medio que se obtiene no como promedio aritmético de los tres sino como consecuencia de la aplicación de una sencilla fórmula probabilística.

Para hallar esta fórmula se admite que la duración de cada tarea se distribuye según una ley b de distribución de probabilidades. En esta ley los tiempos optimista y pesimista corresponden a los extremes izquierdo y derecho de la curva de distribución, siendo el tiempo normal su valor más probable o moda.

El promedio de las tres estimaciones o valor medio, que no tiene porqué coincidir con el valor normal, se identifica con te, y se denomina tiempo esperado.

 

Otro valor importante y muy necesario es la varianza, la cual expresa cuál es la situación de los valores extremos respecto al valor medio.

 

La expresión del valor medio y la varianza para la ley b de distribución de probabilidades es:

 

 

 

 

                                          

                                                                                                 a                      m                       b

 

La varianza se calcula para cada una de las actividades.

 

Después de calcular el tiempo esperado y la varianza se necesitan tres suposiciones adicionales para calcular la probabilidad de terminar el proyecto a tiempo:

 

 

·       Que los tiempos de las actividades son estadísticamente independientes.

·       Que la ruta crítica siempre requiere un tiempo total mayor que cualquier otra ruta.

·       Que el tiempo del proyecto tiene una distribución normal.

 

 

Dadas la media y la varianza es sencillo encontrar la probabilidad de que esta variable aleatoria normal (tiempo del proyecto) sea menor que el tiempo de terminación programado.

 

Con el valor de Z encontramos la probabilidad en una tabla de valores de la distribución normal

 

Resumiendo:

 

 

·       a: tiempo optimista: procura ser el tiempo poco probable, pero posible, si todo sale bien; es en esencia una estimación de la cota inferior de la distribución de probabilidad.

·       b: tiempo pesimista: es el tiempo poco probable, pero posible, si todo sale mal; se trata en esencia de una estimación de la cota superior  de la distribución de probabilidad.

·       m: tiempo probable: intenta ser la estimación más realista de tiempo que puede consumir  una actividad; es una estimación del punto más alto de la distribución de probabilidad para el tiempo de la actividad.

 

 

Basándonos en estos valores, obtenemos la duración o tiempo esperado de la siguiente manera: (tiempo esperado y varianza)

 

Ejemplo de la determinación del te: se tomará para este ejemplo que las tres estimaciones de tiempo se suponen que son:

 

a = 1 día                             m = 2 días                                  b = 5 días

 

El tiempo esperado o valor medio será:

 

te = (1 + 4* 2 + 5) / 6 = 2.33 días

 

Determinando en igual forma ambos valores para cada una de las tareas, se obtiene el siguiente cuadro:

 

Actividad

Tiempo

Te

Desviación estándar

Varianza

 

Optimista

Más probable

Pesimista

 

1-2

1

2

5

2.33

0.667

0.4444

1-3

1

1

2

1.17

0.167

0.0278

1-7

2

3

5

3.17

0.500

0.2500

2-4

2

4

6

4.00

0.667

0.4444

2-5

3

3

3

3.00

0.000

0.0000

3-5

2

3

5

3.17

0.500

0.2500

3-6

1

1

4

1.50

0.500

0.2500

3-7

5

9

12

8.83

1.167

1.3611

4-10

3

4

8

4.50

0.833

0.6944

4-8

3

6

8

5.83

0.833

0.6944

5-8

1

2

4

2.17

0.500

0.2500

5-9

3

8

10

7.50

1.167

1.3611

6-9

1

2

3

2.00

0.333

0.1111

7-9

2

4

7

4.17

0.833

0.6944

8-10

1

2

4

2.17

0.500

0.2500

9-10

1

3

5

3.00

0.667

0.4444

10-11

1

3

4

2.83

0.500

0.2500

 

Conocidos los valores de los tiempos esperados, es posible proceder a la construcción de la figura, donde se han colocado en la actividad los valores correspondientes.

 

Determinación del camino crítico: La determinación del camino crítico empleando tiempos probabilísticos no reviste ninguna dificultad, se procede según las reglas vistas anteriormente obteniéndose los valores de fechas más tempranas y tardías, en forma decimal. En el ejemplo propuesto, se llega así a un valor para el evento final, de 19,98 días. Este valor debe tomarse como valor medio y es el que permite juntamente con la varianza, el análisis del evento final.

 


Actividad

Tiempo

esperado

Temprano

Tardío

Holgura

total

inicio

fin

inicio

fin

1-2

2.33

0.00

2.33

1.33

3.66

1.33

1-3

1.16

0.00

1.16

0.00

1.16

0.00

1-7

3.16

0.00

3.16

6.83

9.99

6.83

2-4

4.00

2.33

6.33

5.16

9.16

2.83

2-5

3.00

2.33

5.33

3.66

6.66

1.33

3-5

3.16

1.16

4.33

3.50

6.66

2.33

3-6

1.50

1.16

2.66

10.66

12.16

9.50

3-7

8.83

1.16

9.99

1.16

9.99

0.00

4-10

4.50

6.33

10.83

12.66

17.16

6.33

4-8

5.83

6.33

12.16

9.16

14.99

2.83

5-8

2.16

5.33

7.50

12.83

14.99

7.50

5-9

7.50

5.33

12.83

6.66

14.16

1.33

d1

0.00

2.66

2.66

14.99

14.99

12.33

6-9

2.00

2.66

4.66

12.16

14.16

9.50

7-9

4.16

9.99

14.16

9.99

14.16

0.00

8-10

2.16

12.16

14.33

14.99

17.15

2.83

9-10

3.00

14.16

17.15

14.16

17.15

0.00

10-11

2.83

17.15

19.98

17.15

19.98

0.00

 

Análisis del evento final.

 

Hasta ahora se conoce cuál es el valor medio, valor más probable de la duración total del proyecto. En el ejemplo desarrollado es de l9,98 días. Pero ¿qué probabilidad existe de que el plan tenga la duración calculada?. La metodología del PERT permite resolver esto, partiendo de la base de contar con un gran número de tareas, se puede aplicar un teorema, conocido como Teorema Central del Límite que establece la duración total del plan se distribuye según una ley de Gauss. Esta distribución tendrá un valor media que se obtiene sumando los valores medios de las tareas críticas, y una varianza igual a la suma de las varianzas de dichas tareas críticas.

A pesar de las pocas tareas de este ejemplo que forman parte del camino crítico, se aplicará al citado teorema, obteniéndose:

 

Duración total: 1,16 + 8,83 + 4,16 + 3 + 2,83 = 19,98:

Varianza = 0,027 + 1,36 + 0,69 + 0,41 + 0,25 = 2,767.

 

Es evidente que la probabilidad de que el  plan tenga la duración prevista es de un 50%

 

Si se desea por ejemplo conocer cuál es la probabilidad de que esta duración esté dentro de los 22 días, se obtendrá lo siguiente:

 

Z = (22-19.98)/1.66 = 1.22 => Probabilidad = 77.76%

 

Si se desea tener mayor seguridad deberá ampliarse el plazo o fecha de terminación.

 

Otras aplicaciones del camino crítico:

 

DIAGRAMA CALENDARIO

 

 

El producto de los cálculos de la red es la construcción del diagrama de tiempos o programa. Este diagrama de tiempos puede conver­tirse fácilmente en un diagrama calendario apropiado para el uso del personal que ejecutará el proyecto.-

 

El diagrama calendario permite visualizar adecuadamente las tareas críticas, las no críticas y sus respectivos márgenes. Esto conduce al razonamiento de que las actividades no críticas pueden iniciarse inmediatamente, es decir, en su fecha más temprana o a último momento, tomando entonces su fecha más tardía o finalmente en algún instante intermedio entre ambas.

 

La construcción del diagrama de tiempos debe hacerse dentro de las limitaciones de recursos disponibles ya que no puede ser posible realizar actividades concurrentes debido a las limitaciones del perso­nal y equipo. Aquí es donde las holguras totales, para las actividades no críticas, llegan a ser útiles. Cambiando una actividad no crítica (hacia adelante o atrás) entre sus límites (TIPi y TTPij) se puede eliminar los requisitos máximos de recursos. En cualquier caso es práctica común usar las holguras totales para nivelar los recursos sobre la duración del proyecto completo. En esencia esto significaría una fuerza de trabajo más estable comparada con el caso donde los recursos variarán drásticamente de un día para el otro.

 

Para construirlo se unen sobre una línea horizontal continua todas Las tareas críticas y en forma paralela se disponen las no críticas, indicando con una línea llena la duración efectiva de la tarea y con línea de trazos el margen disponible o intervalo de tiempo que queda libre teniendo en cuenta el evento al cual concurre la tarea.

 

Iniciación de la tarea en su fecha en su fecha más temprana

 

Act.   0                                                                     20

-------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+-

1-3    |CCCCC                                                                |

3-7    |    CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC                                 |

7-9    |                                   CCCCCCCCCCCCCCC                   |

9-10   |                                                 CCCCCCCCCCCC        |

10-11  |                                                            CCCCCCCCCC

1-2    |xxxxxxxx....                                                         |

1-7    |xxxxxxxxxxxx........................                                 |

3-5    |    xxxxxxxxxxx.......                                               |

3-6    |    xxxx...................................                          |

2-5    |       xxxxxxxxxxxx...                                               |

2-4    |       xxxxxxxxxxxxxxx...........                                    |

6-9    |       xxxxxxxx...................................                   |

6-8    |       x..............................................               |

5-9    |                  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...                   |

5-8    |                  xxxxxxxx............................               |

4-8    |                     xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...........               |

4-10   |                     xxxxxxxxxxxxxxx.........................        |

8-10   |                                          xxxxxxxx...........        |

-------------------------------------------------------------------------------

 

Iniciación de la tarea en su fecha más tardía

 

Act.   0                                                                     20

-------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+------+-

1-3    |CCCCC                                                                |

3-7    |    CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC                                 |

7-9    |                                   CCCCCCCCCCCCCCC                   |

9-10   |                                                 CCCCCCCCCCCC        |

10-11  |                                                            CCCCCCCCCC

1-2    |....xxxxxxxx                                                         |

1-7    |........................xxxxxxxxxxxx                                 |

3-5    |    .......xxxxxxxxxxx                                               |

3-6    |    ...................................xxxx                          |

2-5    |       ...xxxxxxxxxxxx                                               |

2-4    |       ...........xxxxxxxxxxxxxxx                                    |

6-9    |       ...................................xxxxxxxx                   |

6-8    |       ..............................................x               |

5-9    |                  ...xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx                   |

5-8    |                  ............................xxxxxxxx               |

4-8    |                     ...........xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx               |

4-10   |                     .........................xxxxxxxxxxxxxxx        |

8-10   |                                          ...........xxxxxxxx        |

-------------------------------------------------------------------------------

 

Esto conduce al razonamiento de que las tareas no críticas pueden iniciarse inmediatamente en su fecha más temprana, o a último momento, tomando su fecha más tardía o finalmente en algún instante intermedio entre ambas.

 

NIVELACION DE RECURSOS

 

Diagrama de carga

 

Cada flecha del grafo representa una tarea. Su ejecución puede demandar el empleo de recursos tales como mano de obra, equipos, inversión de capitales, etc., o una combinación de tales recursos. En el ejemplo propuesto se supone que sólo se emplea mano de obra, y se indica la cantidad necesaria de personal en el siguiente cuadro.

 

Actividad

Duración

Recurso [cantidad]

1-2

2 días

trabajador[2]

1-3

1 día

trabajador[2]

1-7

3 días

trabajador[3]

2-4

4 días

trabajador[3]

2-5

3 días

trabajador[2]

3-5

3 días

trabajador[2]

3-6

1 día

trabajador[2]

3-7

9 días

trabajador[2]

4-10

4 días

trabajador[2]

4-8

6 días

trabajador[2]

5-8

2 días

trabajador[2]

5-9

8 días

trabajador[3]

6-8

0 días

 

6-9

2 días

trabajador[4]

7-9

4 días

trabajador[2]

8-10

2 días

trabajador[5]

9-10

3 días

trabajador[2]

10-11

3 días

trabajador[4]

 

 

Para cada tarea es necesario contar con un par de datos interrelacionados entre sí que son:

 

tiempo de ejecución de la tarea

personal necesario para ejecutarla

 

Ahora analizaremos la carga del personal que necesitará el proyecto, a medida que éste avanza. Para ello se calculan las necesidades acumuladas de personal, suponiendo que todas las tareas no críticas se inician en la fecha más temprana posible. Así,  para el día 3, por ejemplo se tendrá en el primer caso:

 

tarea 1‑2.................... 2 hombres

tarea 1‑3.....................2 hombres

tarea 1‑7 ....................3 hombres

 

Total día 1 = 7 hombres

 

Necesidad de personal para el día 2:

 

tarea 1‑2.......... 2 hombres

 tarea 3‑5.......... 2 hombres

 tarea 3‑6.......... 2 hombres

tarea 3‑7.......... 2 hombres

 tarea 1‑7.......... 3 hombres

 

total día 2 = 11 hombres                    

 


Con los valores obtenidos de la fecha temprana y tardía se puede confeccionar estos gráficos que corresponden respectivamente a la fecha temprana y tardía. La cantidad de personas no variará según se adopte una u otra política pero sí variará la distribución de estas personas a lo largo del tiempo considerado. Lo analizado respecto al personal tiene también aplicación sobre carga financiera, equipos, etc., o sean recursos en general. Cuando se han analizado el comienzo más temprano y el más tardío de las tareas no críticas, los diagramas permiten tomar la decisión más adecuada.

 

Esto no debe conducir a suponer a primera vista que la solución más adecuada es la de comienzo tardío.

Si el proyecto es a largo plazo y se consideran meses en lugar de días, es necesario estudiar la forma de la curva de carga más adecuada, teniendo en cuenta factores tales como gastos de almacenamiento del material, convenios laborales, etc. Si se supone que el undécimo mes a partir del momento inicial tiene lugar la reactualización del convenio laboral del personal empleado, es evidente que convendrá efectuar la mayor cantidad posible de tareas antes de dicha fecha. Para ello se agrupan las actividades tal como lo indica el diagrama calendario donde la tareas no críticas que tecnológicamente pueden efectuarse antes del undécimo mes han sido programadas para ser ejecutadas entre su fecha de iniciación más temprana y su fecha de iniciación más tardía, pero compatible con la fecha de firma del convenio. Es lógico programar la ejecución de las tareas no críticas posteriores a la fecha del convenio, en su fecha de iniciación más tardía. Si se grafican las necesidades de personal en función del tiempo, se obtiene entonces el siguiente gráfico:

 


 

 

 

 

 

 

 

ACELERACION DE PROYECTOS 

 

RELACION TIEMPO / COSTO: en la red hay 2 (dos) cálculos de tiempo y costos, indicados en cada actividad:

 

 

·       Estimación normal del tiempo (análoga al cálculo del tiempo espera­do). Es el costo asociado con la terminación del proyecto en el tiempo normal; es el costo normal.

·       La estimación del tiempo de emergencia o de terminación acelerada es el tiempo que se requeriría sino se ahorraran costos para reducir el tiempo de un proyecto. El costo es el asociado con la realización de las obras en base a la terminación acelerada para minimizar el plazo de terminación.

 

 

La relación tiempo / costo puede tomar diferentes formas pero solo nos interesa tomar una linealización de ellos, de allí que cada reducción unitaria del tiempo produce un incremento igual en el costo.

 

El costo incremental (Ic) es el costo de terminación acelerado (Cc) menos el costo normal (Nc), dividido entre el tiempo normal (Nt) menos el tiempo de terminación acelerado (Ct)

 

                                                            Costo

                                                               Cc

 

 

                                                               Nc

 

 


                                                                                                      Tiempo

                                                                                     Ct                                         Nt

En los casos que haya que reducir, debemos realizarlo en las actividades críticas; estas reducciones producirán un incremento en el costo total del proyecto.

 

Aceleración del proyecto:

 

Según el ejemplo propuesto no se tomarán los tiempos probabilísticos sino las duraciones estimadas. En él se reconocen el camino crítico y la duración total del proyecto que es de 20 días, y que demandará una cantidad dada de fondos.

Algunas veces es necesario disminuir la duración total del plan adoptado. Por ejemplo, si el diagrama en estudio presenta las tareas necesarias para el desarrollo de un nuevo proyecto, y se observa que la fecha inicial del evento 11  no permite terminar en el momento previsto, es evidente la necesidad de tratar de acortar el lapso.

Para ello es lógico trabajar reduciendo la duración de alguna/s tarea/s críticas, porque no tendría objeto invertir dinero y/o esfuerzos en tratar de acortar una tarea no crítica cuya influencia en la duración total del proyecto es nula. No todas las tareas pueden acelerarse. Algunas no lo permiten debido a su índole particular, cualesquiera sean los medios de que se disponga para ello.

Tal es el caso de aquellas actividades como fraguado del hormigón, cuya aceleración no puede lograrse por la naturaleza química de ese elemento.

Hay tareas en las cuales, por razones de espacio, no puede acelerarse su ejecución. Como por ejemplo efectuar la excavación del terreno, en la que se ha calculado el tiempo en base al trabajo de una pala mecánica, pero donde no hay lugar para el uso simultáneo de dos elementos como el mencionado.

En cambio, sí es posible acelerar la tarea de recorrido de un motor Diesel ya que se puede llevar a cabo empleando más personal, o si esto no es posible por problemas de espacio, por ejemplo, trabajando en dos o tres turnos.

 

Construcción de la tabla de reducción: Se construye el siguiente cuadro que abarca todas las tareas sean o no críticas. Este aparente contrasentido tiene su razón de ser con motivo de los acortamientos de las actividades, pueden surgir nuevos caminos críticos que hagan tareas críticas que originalmente no lo fueron.

 

Actividad

Tiempo

Costo

I.C.

Actividad crítica

Normal

Acelerado

Normal

Acelerado

20

19

18

1-2

2

1

4000

7500

3500

 

x

 

1-3

1

1

1000

1000

0

x

 

 

1-7

3

3

1000

1000

0

 

 

 

2-4

4

2

12000

22000

5000

 

 

 

2-5

3

1

6000

18000

6000

 

x

 

3-5

3

2

6000

9000

3000

 

 

x

3-6

1

1

1000

1000

0

 

 

 

3-7

9

7

18000

23000

2500

x

 

 

4-10

4

3

8000

11000

3000

 

 

 

4-8

6

5

12000

15500

3500

 

 

 

5-8

2

2

2000

2000

0

 

 

 

5-9

8

4

11000

39000

7000

 

x

 

6-9

2

1

8000

11200

3200

 

 

 

7-9

4

3

8000

10700

2700

x

 

 

8-10

2

2

1000

1000

0

 

 

 

9-10

3

2

6000

10000

4000

x

 

 

10-11

3

1

10000

23000

6500

x

 

 

TOTAL

 

 

115000

 

 

 

 

 

 

Sabemos que la duración total del proyecto es de 20 días, y su costo deducido, es de $ 115000. La primera columna ocupa las actividades del proyecto, en la segunda se colocan las duraciones correspondientes a cada una, supuesto que se trabaja en forma normal. La tercera columna especifica para cada tarea cuál es el tiempo mínimo en que puede llevarse a cabo. También recibe el nombre de tiempo crash. La actividad 1‑7 no admite ninguna reducción, par lo que su tiempo crash coincide con la duración estimada. La cuarta columna suministra el costo de ejecución de la tarea, en base al tiempo de la segunda columna con el personal asignado. Su suma da el costo total del proyecto, en lo que a mano de obra se refiere. La quinta columna indica el costo de urgencia, o sea el costo de realizar la tarea en su tiempo mínimo. La sexta columna especifica el costo adicional que involucra acelerar un día la tarea respectiva en función de mayor cantidad de personal a emplear, pago de horas extras, contratación a terceros, etc. A la derecha se han marcado con una (x) las tareas que corresponden al camino crítico. (columna 20). Como punto de partida se toma que el tiempo de ejecución del proyecto es igual a 20 días cuyo costo en pesos es de 115000.

 

Reducción a 19 días

 

Si es necesario que el plan se cumpla en 19 días se debe disminuir en un día la ejecución de algunas actividades críticas.

Analizando el cuadro anterior, se busca en la sexta columna a qué tarea crítica corresponde el menor costo diario de reducción. En este caso se aprecia que es la 3‑7. Se disminuye entonces en un día la mencionada tarea, quedando reducida su ejecución en 8 días y a un costo de: 18000 + 2500 = 20500 pesos.

 

Tiempo de ejecución acelerando la tarea 3‑7: 19 días.

Costo en pesos: 115000 + 2500 = 117500

 


 

Reducción a 18 días: Si se observe el grafo se encontrará ahora que el nodo 9 convergen tres flechas, dos de las cuales tienen un tiempo máximo de 13 días. Quedan entonces dos caminos críticos 1-­2‑5‑9‑10‑11 y 1‑3‑7‑9‑10‑11. Aparecen nuevas tareas críticas tales como la 1‑2, la 2‑5 y la 5‑9 que se indican en el cuadro por media de una (x) (columna 19).

 

Un nuevo estudio de dicha tabla revela qué deberá elegirse nuevamente en la tarea 3‑7 por ser la más económica de todas. Pero si se analiza el grafo, puede observarse que nada se ganaría con acortar la tarea 3‑7 solamente ya que el nodo 9 subsistirá el valor 13, debido al otro camino crítico 1‑2‑5‑9‑10‑11.

 

Por lo tanto, es necesario incorporar también en el estudio las tareas críticas de este último camino.

Es evidente que la solución más adecuada es disminuir en un día la tarea común 9‑10 con lo cual ésta queda saturada no admitiendo más reducciones.

 

Entonces: Tiempo de ejecución acelerando la tarea 9‑10: 18 días

                  Costo en pesos       117500 + 4000 = 121500

 


Reducción a 17 días

Conviene restar un día a la tarea 10‑11 que cuesta $ 6500, pero es más económico disminuir en un día la tarea 3‑7 con lo cual queda saturada y disminuir en un día a la tarea 1‑2 que también queda saturada.

 

Entonces: Tiempo de ejecución modificando tareas 3‑7 y 1‑2: 17 días

Costo en pesos 121500 + (3500 + 2500) = 127500

 

Esta última reducción ha provocado que la tarea 3‑5 sea también crítica, por lo cual se indica con una (x) en la columna 17 del cuadro.


 

Reducción a 16 días:

Se deduce que la tarea más económica es la 10‑11

 

 

Entonces

 

Tiempo de ejecución acelerando la tarea 10‑1 1: 16 días

Costo en pesos: 127500 + 6500 = 134000

 


 

Reducción a 15 días:

 

La tarea 10‑11 sigue siendo la más económica pero como no admite posteriores reducciones, queda saturada.

 

 

entonces:

 

Tiempo de ejecución acelerando la tarea: 10‑11 : 15 días

Costo en pesos: 134000 + 5400 = 140500

 


 

Reducción a 14 días:

 

Se puede reducir la tarea 7‑9 que queda saturada, y la tarea 2‑5 pero se aprecia que es más económico disminuir las tareas 5‑9 y 7‑9

 

 

 

Tiempo de ejecución acelerando las tareas 5‑9 y 7‑9: 14 días

Costo en pesos: 140500 + (7000 + 2700) = 150200

La reducción de las tareas mencionadas en primer término, hubiera ocasionado un costo total de $152200

 


 

Reducción a 13 días:

Un análisis del grafo revela que no es posible seguir reduciendo la duración del proyecto porque si bien aún aceleran las tareas 2‑5 y/o 5‑9 no puede reducirse el camino 1‑3‑7‑9­ pues está totalmente saturado.

 

Gráfico de costos:

 

 

Actividad

Duración

Costo

Temprano

Tardío

Holgura Total

inicio

fin

inicio

fin

1-2

2

4000

0

2

1

3

1

1-3

1

1000

0

1

0

1

0

1-7

3

1000

0

3

7

10

7

2-4

4

12000

2

6

5

9

3

2-5

3

6000

2

5

3

6

1

3-5

3

6000

1

4

3

6

2

3-6

1

1000

1

2

11

12

10

3-7

9

18000

1

10

1

10

0

4-10

4

8000

6

10

13

17

7

4-8

6

12000

6

12

9

15

3

5-8

2

2000

5

7

13

15

8

5-9

8

11000

5

13

6

14

1

d1

0

0

2

2

15

15

13

6-9

2

8000

2

4

12

14

10

7-9

4

8000

10

14

10

14

0

8-10

2

1000

12

14

15

17

3

9-10

3

6000

14

17

14

17

0

10-11

3

10000

17

20

17

20

0

 

Actividad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1-2

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-3

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-7

333.3

333.3

333.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-4

 

 

3000

3000

3000

3000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-5

 

 

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-5

 

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-6

 

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-7

 

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-10

 

 

 

 

 

 

2000

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4-8

 

 

 

 

 

 

2000

2000

2000

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

5-8

 

 

 

 

 

1000

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-9

 

 

 

 

 

1375

1375

1375

1375

1375

1375

1375

1375

 

 

 

 

 

 

 

6-9

 

 

4000

4000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7-9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2000

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

8-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

500

500

 

 

 

 

 

 

9-10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2000

2000

2000

 

 

 

10-11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3333.3

3333.3

3333.3

Total

3333.3

7333.3

13333.3

13000

7000

7375

8375

7375

7375

7375

5375

5375

3875

2500

2000

2000

2000

3333.3

3333.3

3333.3

Acumulado

3333.3

10666.7

24000

37000

44000

51375

59750

67125

74500

81875

87250

92625

96500

99000

101000

103000

105000

108333.3

111666.7

115000

 

Actividad

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1-2

 

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-3

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-7

 

 

 

 

 

 

 

333.3

333.3

333.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-4

 

 

 

 

 

3000

3000

3000

3000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-5

 

 

 

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-5

 

 

 

2000

2000

2000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000<