\documentclass[a5paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[esperanto]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{icomma} % decimala komo
\pagestyle{empty}

\usepackage{geometry}
\geometry{hmargin=2cm} \geometry{vmargin=2cm}

\let\footnoteruleg=\footnoterule

\makeatletter
\renewenvironment{thebibliography}[1]
%     {\section*{\refname}%
     {\paragraph{\refname}% diminuir titulo
      \@mkboth{\MakeUppercase\refname}{\MakeUppercase\refname}%
      \list{\@biblabel{\@arabic\c@enumiv}}%
           {\settowidth\labelwidth{\@biblabel{#1}}%
           \topsep 0pt % etigi spacon
           \parsep 0pt % etigi spacon
           \itemsep0pt % etigi apartigon
            \leftmargin\labelwidth
            \advance\leftmargin\labelsep
            \@openbib@code
            \usecounter{enumiv}%
            \let\p@enumiv\@empty
            \renewcommand\theenumiv{\@arabic\c@enumiv}}%
      \sloppy
      \clubpenalty4000
      \@clubpenalty \clubpenalty
      \widowpenalty4000%
      \sfcode`\.\@m}
     {\def\@noitemerr
       {\@latex@warning{Empty `thebibliography' environment}}%
      \endlist}
\makeatother

\begin{document}

\noindent Esperanto per Gutoj de Sa^go \hfill\mbox{} \\ \vspace{-2em} \\
\mbox{}\hfill\begin{Huge}\textbf{VIVO}\end{Huge}\mbox{} \\ \vspace{1em} \\
\mbox{}\hfill\begin{Huge}\textbf{KAJ}\end{Huge}\hfill\mbox{} \\ \vspace{1em} \\
\begin{Huge}\textbf{VIBRO}\end{Huge} \hfill Numero 3, 2010 a^ugusto, 01

% ^ce unua versio ne skribu: (versio 1)

\vfill

\renewcommand{\footnoterule}{}
\noindent\hrulefill\vspace{.3em}
\noindent\mbox{\begin{minipage}{\textwidth}
^Ci-numere legu pri %\\ \mbox{}\\
\begin{center}
\begin{LARGE}La Fiziko de Pandero - II\end{LARGE} \\ \vspace{.5em}
Filipe de Moraes Paiva\footnote{Departamento de F\'isica, U.E. Humait\'a II, Col\'egio Pedro II, Rua Humait\'a 80, 22261-040  Rio de Janeiro-RJ, Brasil; \mbox{fmpaiva@cbpf.br}}, Antonio F. F. Teixeira\footnote{Centro Brasileiro de Pesquisas F\'isicas, 22290-180 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; \mbox{teixeira@cbpf.br}}
\end{center}
\vspace{-.2em}
\textbf{Resumo}: Ni studas vibron de membrano kaj rilatas tion al muzikaj sonoj el pandero. Ni montras kiel ekhavi plurajn malsamajn sonojn el pandero, e^c tonaltajn sonojn, kaj diskutas kiel plibonigi tiujn sonojn.
\end{minipage}}
\vspace{.3em}\noindent\hrulefill
\let\footnoterule=\footnoteruleg

\vspace{.5em}
\vfill%\vfill

\noindent\includegraphics[width=.4\textwidth,bb=14 14 590 568]{./logoredondo_2.eps}
% logoredondo_2.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=14 14 590 568

\vspace{-.405\textwidth}

\hspace{.38\textwidth}
\noindent\begin{minipage}[t]{.55\textwidth}
\noindent\textbf{Vibro kaj Vivo} estas revuo de \mbox{scienco}, arto kaj ^generala sa^go. \\
%\mbox{} \\
Eldonanto: \\
Filipe de Moraes Paiva \\
VEKCPII - Vin Esperanto Klubo \\
Col\'egio Pedro II, U.E. Humait\'a II \\
Rua Humait\'a 80 \\
22261-180 Rio de Janeiro - RJ \\
Brazilo\\
%\mbox{} \\
vibrokajvivo@gmail.com
\end{minipage}

%\vfill

%\noindent Dankon al VEKCPII pri presado de ^ci tiu numero.

\newpage

\paragraph{Enkonduko.}

En \cite{PaivaTeixeira-p-1} ni komparis, sone kaj vibre, kordajn kaj blovinstrumentojn kun frapinstrumento, speciale, pandero\footnote{Maldika muzika frapinstrumento kun stre^ca membrano.}. Vibro estas kuni^go de iuj modoj de vibro. Tiuj estas specialaj vibroj kun specifaj nodoj, t.e., punktoj a^u lineoj (fig.~\ref{fig'modoj-memb}) kiuj ne movi^gas dum vibro. Kordaj kaj blovinstrumentoj sonas pro vibro de unudimensia^jo (kordo a^u aero en tubo), kiu produktas simplajn modojn de vibro kies frekvencoj estas la^u harmona serio $1$, $2$, $3$ ktp, t.e., unu, duoble, trioble ktp. Tia serio bele sonas tonalte (kiel do, a^u re, a^u mi, a^u fa \dots). Kontra^ue, pandero sonas pro vibro de du-dimensia membrano; do nodoj de modoj de vibro estas pli kompleksaj; do la serio de frekvenco ne estas la^u harmona serio; do sono de pandero ne estas tonalta. Fakte, se oni difinas ke la frekvenco de la unua modo estas $f_1=1$, do la serio de frekvenco\footnote{Konsiderante kune movon de aero ^cirka^u membrano.} estas\cite{PaivaTeixeira-p-1,Rossing} $f_2=1,89$, $f_3=2,79$, $f_4=2,92$, $f_5=3,62$, $f_6=3,92$, $f_7=4,45$, $f_8=4,89$, $f_9=4,96$, $f_{10}=5,25$.

\begin{figure}[h]
\vspace{-1em}
\centering
\hspace{2em}
\includegraphics[width=.7\textwidth]{./modoj-memb2.eps}
% modoj.eps: 0x0 pixel, 300dpi, 0.00x0.00 cm, bb=0 0 415 204
\caption{\small Nodoj de la unuaj dek modoj de vibro de membrano\cite{PaivaTeixeira-p-1,Hall,Rossing}. Vidu anka^u interesan filmon\cite{Lunazzi} de nodoj de vibroj de plato.}
\label{fig'modoj-memb}
\end{figure}

Vere, pandero kaj aliaj frapinstrumentoj havas multe ri^c\-ajn eblecojn de sono. Nun ni studas kiel produkti plurajn sonojn el pandero, e^c tonaltajn sonojn.

\paragraph{Sono el pandero.}

Vidu el fig.~\ref{fig'modoj-memb} ke la nodoj de vibra membrano estas tri-spece: cirklaj, radiusaj kaj miksaj. En la unua modo ($f_1$), la membrano tute movi^gas supren kaj poste tute movi^gas malsupren. Tiu movado multe rapide dissendas la energion de tiu modo kaj do la sono de tiu modo ne multe da^uras. Sonoj, kiuj ne multe da^uras, ne kontribuas al percepto de tonalto. Vere, modo $f_1$ estas la perceptata ekbruo karakteriza de kutimaj frapoj.
%; iom poste ni montras kiel tute malaperigi tion modon $f_1$.
Do, je kunteksto de tonalto, ni ne konsideros modon $f_1$. Se oni difinas ke la frekvenco de la dua modo estas $f_2=1$, do la serio de frekvenco estas\cite{Rossing}\footnote{Sufi^cas dividi ^ciun frekvencon per $f_2$.}: $f_3=1,48$, $f_4=1,55$, $f_5=1,92$, $f_6=2,08$, $f_7=2,36$, $f_8=2,59$, $f_9=2,63$, $f_{10}=2,78$. Tio ankora^u ne estas harmona serio. Tamen, estas plu.

\paragraph{Elekto de frapa punkto.}

Kiam oni frapas la panderon, oni devas elekti kie frapi. Necese, la punkto frapata movi^gas. Se tiu punkto movi^gas, do ^gi ne apartenas al nodo. Ekzemple, se oni frapas je la centro de membrano, do la centro movi^gas. Observu ke la centro apartenas al nodoj de radiusaj ($f_2$, $f_3$, $f_5$, $f_7$, $f_{10}$) kaj miksaj ($f_6$, $f_8$) modoj; do frapo en la centro ekscitas nur cirklajn modojn kun frekvencoj $f_1=1$, $f_4=2,92$, $f_9=4,96$. $f_1$ sonas kiel ekbruo kiu rapide malaperas kaj amba^u, $f_4$ kaj $f_9$, ne apartenas al harmona serio. Do centra frapo ne sonas tonalte kaj do oni perceptas sekan bruon.

Alia ekzemplo. Se oni frapas la membranon ^ce bordo ^cirka^u triono de distanco de bordo al centro, oni certe frapas je nodoj de cirklaj ($f_4$, $f_9$) kaj de miksaj ($f_6$, $f_8$) modoj. Do tia frapo ekscitas nur radiusajn modojn $f_2$, $f_3$, $f_5$, $f_7$, $f_{10}$ kaj unuan modon $f_1$. ^Car $f_1$ ne da^uras, do la tonalto pendas nur de radiusaj modoj: $f_2=1$, $f_3=1,48$, $f_5=1,92$, $f_7=2,36$ kaj $f_{10}=2,78$. Tio estas preska^u $f_2=1$, $f_3=1,5$, $f_5=2$, $f_7=2,5$ kaj $f_{10}=3$, kio estas harmona serio kies unua frekvenco~$0,5$ malaperis. Fakte, se oni difinas $f_2=2$  do la serio estas $f_2=2$, $f_3=3$, $f_5=4$, $f_7=5$ kaj $f_{10}=6$. Tio estas harmona serio kiu komencas kun malaperita frekvenco~$1$. Do frapo ^ce bordo ^cirka^u triono de distanco de bordo al centro sonas tre bele kaj preska^u tonalte.

Fine, observu ke je ^ciuj cirklaj modoj, la centro de membrano movi^gas, t.e., la centro ne estas nodo de cirklaj modoj (fig.~\ref{fig'modoj-memb}). Do se oni gluas econ de pasto je la centro de pandero, ^ciuj cirklaj modoj malpli vibras; krome tio ne malhelpas radiusajn kaj miksajn modojn  ^car ili havas nodojn je la centro. Tiu rimedo malaperigas la ekbruon de cirklaj modoj kaj helpas beligi kaj malakutigi sonon de frapo ^ce bordo ^cirka^u triono de distanco de bordo al centro. En Barato, tamburoj kutime uzas tiun rimedon.

\paragraph{Konkludo.}

Frapo je la centro kaj ^ce bordo (^cirka^u triono de distanco de bordo al centro), estas la du plej gravaj frapoj de pandero. La unua sonas seka kaj la dua estas malakuta sono preska^u tonalta. Amba^u estas utilaj por muziko de pandero. Interesa rimedo estas glui econ de pasto je la centro de pandero por beligi kaj malakutigi la malakutajn sonojn; ^sajnas ke tiu rimedo ne malhelpas aliajn sonojn el pandero. En estonta artikolo ni plu diskutos eblajn sonojn el pandero.

\begin{small}
\begin{thebibliography}{100}

\bibitem{PaivaTeixeira-p-1} Filipe de Moraes Paiva kaj Antonio F. F. Teixeira (2010), ``{\em La Fiziko de Pandero - I}'', Vibro kaj Vivo, n.1, VEKCPII, Rio-de-^Janejro, Brazilo.

\bibitem{Hall} Donald E. Hall (1991), ``{\em Muzika Akustiko}'', Brooks/Cole Publishing Company, Kalifornio, dua eldono.

\bibitem{Lunazzi} Jos\'e J. Lunazzi (2010/07/13), ``{\em Sonaj bildoj la^u ^Cladni}'', http://www.youtube.com/watch?v=3vrAOXQ8BBE

%\bibitem{Pierce} John R. Pierce (1996) ``{\em La Scienco de Muzika sono}'', W. H. Freeman and Company, Nov-Jorko, revizita eldono.

\bibitem{Rossing} Thomas D. Rossing (2005) ``{\em Scienco de frapinstrumentoj}'', World Scientific Publishing Co., Singapuro.

\end{thebibliography}
\end{small}

\end{document}