Profe Cossoli

¿Sabías que...?

Sobre Matemática - Parte I

"Cuanto más conozcas, mejor"

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Las reflexiones que aparecen más abajo fueron inspiradas en un libro de Keith Devlin (¿Qué es la matemática?). Sugiero que lean el texto con la mayor flexibilidad posible. Y, si pueden, léanlo con cuidado. Insisto: no es patrimonio mío (ni mucho menos). Es un recorrido por la historia que me parece que uno no debería ignorar.

Si hoy parara a una persona por la calle y le preguntara ¿qué es la matemática?, probablemente contestaría -si tuviera interés en contestar algo- que la matemática es el estudio de los números o quizás que es la ciencia de los números. Lo cierto es que esta definición tenía vigencia hace unos 2.500 años. O sea, que la in­formación que tiene el ciudadano común respecto a una de las cien­cias básicas, es equivalente...¡¡a la de veinticinco siglos atrás!! ¿Hay algún otro ejemplo tan patético en la vida cotidiana?

Durante el desarrollo de la historia, la humanidad ha recorrido un camino tan largo y tan rico que me creo con derecho a esperar una respuesta un poco más actual. La idea sobre qué es la matemática en el imaginario popular no parece haber evolucionado demasiado a través de los siglos.

Algo falla. Los canales de comunicación no funcionan como deberían. ¿No despierta curiosidad averiguar qué nos estamos perdiendo?. Es probable que la mayoría de la gente esté dispuesta a aceptar que la matemática hace aportes valiosos en los diferentes aspectos de la vida diaria, pero no tiene idea de su esencia ni de la investigación que se hace actualmente en matemática, ni hablar de sus progresos y su expansión.

Para lograr captar algo de su espíritu, tal vez convenga refrescar, a muy grandes rasgos, y en forma breve los primeros pasos y la evolución de la matemática a través del tiempo.

La respuesta a la pregunta ¿qué es la matemática? ha variado mucho en el transcurso de la historia. Hasta unos 500 años antes de Cristo, aproximadamente, la matemática era -efectivamente- el estudio de los números. Hablo, por supuesto, del período de los matemáticos egipcios y babilonios en cuyas civilizaciones la matemática consistía casi absolutamente en aritmética. Se parecía a un recetario de cocina: haga esto y aquello con un número y obtendrá tal respuesta. Era como poner ingredientes en la batidora y hacer un licuado. Los escribas egipcios utilizaban la matemática para la contabilidad, mientras que en Babilonia eran los astrónomos los que la desarrollaban de acuerdo con sus necesidades.

Durante el período que abarcó desde los 500 años antes de Cristo hasta los 300 después de Cristo, aproximadamente 800 años, los matemáticos griegos demostraron preocupación e interés por el estudio de la geometría. Tanto que pensaron a los números en forma geométrica.

Para los griegos, los números eran herramientas. Así fue como los números de los babilonios "les quedaron chicos"... ya no les alcanzaban. Tenían los naturales (1, 2, 3, 4, 5, etcétera) y los enteros (que son los naturales más el cero y los números ne­gativos) pero no eran suficientes.

Los babilonios ya tenían también los números racionales, o sea los cocientes entre los enteros (1/2,1/3, -7/8,13/15, -7/3,0, -12/13, etcétera) que proveían el desarrollo decimal (5, 67 o 3, 8479) y los números periódicos 0,4444... o 0,191919... Estos números les permitían medir, por ejemplo, magnitudes mayores que cinco pe­ro menores que seis. Pero aún así eran insuficientes.

Algunas escuelas como la de los "pitagóricos" (que se prometían en forma mística no difundir el saber) pretendían que todo fuera mensurable, y por eso casi enloquecieron cuando no podían "medir bien" la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos midieran uno. O sea, había medidas para las cuales los números de los griegos no se adecuaban o no se correspondían. Es entonces cuando "descubrieron" los números irracionales... o no les quedó más remedio que admitir su existencia.

El interés de los griegos por los números como herramientas y su énfasis en la geometría elevaron a la matemática al estudio de los números y también de las formas. Allí es donde empieza a aparecer algo más. Comienza la expansión de la matemática que ya no se detendrá.

De hecho, fue con los griegos que la matemática se transformó en un área de estudio y dejó de ser una mera colección de técnicas para medir y para contar. La consideraban como un objeto interesante de estudio intelectual que comprendía elementos tanto estéticos como religiosos.

Y fue un griego, Tales de Mileto, el que introdujo la idea de que las afirmaciones que se hacían en matemática podían ser probadas a través de argumentos lógicos y formales. Esta innovación en el pensamiento marcó el origen de los teoremas, pilares de las matemáticas.

Muy sintéticamente, podríamos decir que la aproximación novedosa de los griegos a la matemática culmina con la publicación del famoso libro Los elementos de Euclides (ver biografía), algo así como el texto de mayor circulación en el mundo después de la Biblia. En su época, este libro de matemática fue tan popular como las enseñanzas de Dios. Y como la Biblia no podía explicar al número p (pi), lo "hacía" valer 3.

Siguiendo con esta pintura, a trazos muy gruesos, de la historia, es curioso que no haya habido demasiados cambios en la evolución de la matemática sino hasta mediados del siglo XVII cuando simultáneamente en Inglaterra y en Alemania, Newton (ver biografía), por un lado, y Leibniz (ver biografía), por el otro, "inventaron" el cálculo.

El cálculo abrió todo un mundo de nuevas posibilidades porque permitió el estudio del movimiento y del cambio. Hasta ese momento, la matemática era una cosa rígida y estática. Con ellos aparece la noción de "límite": la idea o el concepto de que uno puede acercarse tanto a algo como quiera aunque no lo alcance. Así "explotan" el cálculo diferencial, infinitesimal, etcétera.

Con el advenimiento del cálculo, la matemática, que parecía condenada a contar, medir, describir formas, estudiar objetos estáticos, se libera de sus cadenas y comienza a "moverse".

Y con esta nueva matemática, los científicos estuvieron en mejores condiciones de estudiar el movimiento de los planetas, la expansión de los gases, el flujo de los líquidos, la caída de los cuerpos, las fuerzas físicas, el magnetismo, la electricidad, el crecimiento de las plantas y los animales, la propagación de las epidemias, etcétera.

Después de Newton y Leibniz, la matemática se convirtió en el estudio de los números, las formas, el movimiento, el cambio y el espacio.

La mayor parte del trabajo inicial que involucraba el cálculo se dirigió al estudio de la física. De hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época fueron también físicos notables. En aquel momento, no había una división tan tajante entre las diferentes disciplinas del saber como la hay en nuestros días. El conocimiento no era tan vasto y una misma persona podía ser artista, matemática, física y otras cosas más, como lo fueron, entre otros, Leonardo Da Vinci (ver biografía) y Miguel Ángel.

A partir de la mitad del siglo XVIII nació el interés por la matemática como objeto de estudio. En otras palabras, la gente comenzó a estudiar a la matemática ya no sólo por sus posibles aplicaciones sino por los desafíos que vislumbraba la enorme potencia introducida por el cálculo.

Sobre el final del siglo XIX, la matemática se había convertido en el estudio del número, de la forma, del movimiento, del cambio, del espacio y también de las herramientas matemáticas que se utilizaban para ese estudio.

La explosión de la actividad matemática ocurrida en este siglo fue imponente. Sobre el comienzo del año 1900, el conocimiento matemático de todo el mundo hubiera cabido en una enciclopedia de ochenta volúmenes. Si hoy hiciéramos el mismo cálculo, estaríamos hablando de más de cien mil tomos.

El desarrollo de la matemática incluye numerosas nuevas ramas. En alguna época las ramas eran doce, entre las que se hallaban la aritmética, la geometría, el cálculo, etcétera. Luego de lo que llamamos "explosión" surgieron alrededor de 60 o 70 categorías en las cuales se pueden dividir las diferentes áreas de la matemática. Es más, algunas -como el álgebra y la topología- se han bifurcado en múltiples subramas. Por otro lado, hay objetos totalmente nuevos, de aparición reciente, como la teoría de la complejidad o la teoría de los sistemas dinámicos.

Debido a este crecimiento tremendo de la actividad matemática, uno podría ser tildado de reduccionista si a la pregunta de "¿qué es la matemática?" respondiera: "es lo que los matemáticos hacen para ganarse la vida".

Hace tan sólo unos veinte años nació la propuesta de una definición de la matemática que tuvo -y todavía tiene- bastante consenso entre los matemáticos. "La matemática es la ciencia de los "patterns" (o de los patrones).

En líneas muy generales, lo que hace un matemático es examinar "patterns" abstractos. Es decir, buscar peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movimiento, de comportamiento, etcétera. Estos "patterns" pueden ser tanto reales como imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, de las profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de la mente.

Como se ve, a esta altura del siglo XXI contestar la pregunta ¿qué es la matemática? con un simple "es el estudio de los números" es, cuanto menos, un grave problema de información, cuya responsabilidad mayor no pasa por quienes piensan eso, sino de los que nos quedamos de este otro lado, disfrutando algo que no sabemos compartir.

Tomado de: MATEMÁTICA... ¿ESTÁS AHI? (Tomo 1) de Adrián Paenza

Los primeros números se usaron para contar cosas. Son los números Naturales (se representan por N). La cantidad de números naturales es infinita.

El término números Naturales aparece por primera vez en 1763 en The method of increments de William Emerson.

Mucho más tarde, recuérdese que los romanos no tenían el número cero, probablemente como consecuencia de las relaciones comerciales y los préstamos, se introdujeron el cero y los números negativos, que junto con el conjunto de los números naturales, forman los números Enteros (se representan por Z. La denominación proviene de Zahl, número en alemán).

El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaron a este símbolo sunya, que quiere decir "vacío". Los árabes, que tenían relaciones comerciales con la India, aprendieron la numeración india y la divulgaron, posteriormente, a Occidente. Los árabes lo denominaron céfer, que en su idioma quiere decir "vacío". Esta palabra dio origen a las palabras castellanas cero y cifra.

La introducción de los números negativos es muy reciente. La mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII no aceptaban los números negativos. Consideraban absurdo restar 8 de 0, y cuando una ecuación daba raíces negativas consideraban esa solución como imposible. Un argumento de peso en contra de los números negativos se deriva de la proporción -1/1 : 1/-1 (¿cómo va a ser un menor a un mayor como un mayor a un menor?).

La cantidad de números enteros es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números enteros.

Posteriormente, y también probablemente, debido a las relaciones comerciales, aparecieron los números que representan trozos de un todo que se ha dividido en partes iguales. Estos números se llaman números Racionales (y se representan por Q). La cantidad de números racionales es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números racionales.

Los números racionales nos producen problemas porque no los 'vemos' como un número, sino como un número divido por otro. Es importante tener siempre presente que 1/2, es un número, no 1 divido entre 2. 

Los únicos números que había en tiempos de Pitágoras eran los números naturales. Lo que hoy conocemos como números fraccionarios era considerado como una proporción entre números. El problema se les presentó a los pitagóricos cuando intentaron medir la diagonal de un cuadrado de lado 1:  Se dieron cuenta que no se podía expresar con los números que tenían (era una longitud inconmensurable). Se dice que prohibieron revelar este descubrimiento a los discípulos, porque ellos defendían que todo se podía reducir a número.

El primer número no racional que se 'descubrió' fue y el segundo p (pi).

Estos números se llaman irracionales algebraicos, porque se pueden obtener del álgebra, por ejemplo,se deduce de x² = 2 y junto con los números transcendentes (los que no se pueden obtener del álgebra, por ejemplo el número p (pi) y el número e) forman los números Reales (se representan por R). La cantidad de números reales es infinita pero hay más números reales que números naturales.

El término números reales fue usado por Descartes en 1637.

La resolución de ecuaciones del tipo x² + 2 = 0, planteó el mismo problema que se le presentó a los pitagóricos. No existe ningún número (de los que hemos visto) que cumpla esta condición, por lo que definimos un nuevo tipo de números que llamamos Complejos (se representan por C).

Los números complejos tuvieron éxito en la resolución de varios problemas de Física, por lo que se intentó generalizar el concepto a más de dos dimensiones: a estos números se llamarían números Hipercomplejos.

Es muy frecuente, en este tema de los números, representar los números con este diagrama. Este diagrama es correcto en el sentido de que unos conjuntos de números contienen a otros pero no quiere decir que haya más números de un tipo que de otro.

La Teoría de números se inicia con Euclides en su libro Elementos, continúa con Diofanto en su libro Aritmetica a continuación Fermat, después Euler, Legendre y Gauss.

Tomado de: telefonica (Agregar www. al principio y .net/web2/lasmatematicasdemario al final)

Es difícil establecer estrictamente el origen del Algebra, pero todo parece confirmar que la primera obra sobre Algebra nació en Grecia, y fue su autor Diofanto de Alejandría. Poco se sabe sobre la vida de Diofanto, pero se conoce que al morir tenía 84 años, gracias a un famoso acertijo que tiene más de 500 años, que según algunos figuró como epitafio y que dividía la vida de Diofanto en períodos, cada uno de los cuales es una parte de la edad x que alcanzó Diofanto.

Este acertijo establece las condiciones que se detallan a continuación:

1)  La juventud de  Diofanto duró 1/6 de su vida;  luego su juventud x/6

 2) Después se dejó la barba durante un período igual a 1/12 de su vida.

3) Después de 1/7 de su vida se casó.

4) Cinco años más tarde tuvo un hijo.

5) El hijo vivió exactamente la mitad del tiempo que vivió su padre.

6) Diofanto murió 4 años después que su hijo.

Por lo tanto,  la ecuación correspondiente que da  la edad de Diofanto es:

x= x/6 + x/12 + x/7 + 5 x/2 +4    que se reduce a: 3/28 x = 9  Þ x = 84

Es decir:   Diofanto murió a los 84 años.

La obra de Diofanto permaneció aislada en la escuela griega. Ningún otro matemático griego se dedicó a ella, y esa rama de la matemática desapareció con Diofanto. Sin embargo, es tal la importancia de su obra, que hasta el momento actual se estudia en Algebra un tipo de ecuaciones que se llaman ecuaciones diofánticas.

La simple frase: el total y su séptima parte hacen 19, se encontró en un papiro egipcio que tiene 3.600 años y muestra que ya en esa época, el hombre resolvía ese problema algebraico.

En verdad, la opinión general está de acuerdo en que la cuna del Algebra puede situarse en la India, donde aparecieron los rudimentos de esa ciencia, y fue el pueblo árabe que tenía un intercambio comercial con la misma, allá por el año 750, el que tomó esos conocimientos, los sistematizó, les aplicó el razonamiento deductivo de la matemática griega, y de esa combinación resultó el Algebra que, a través de distintas evoluciones, se conoce en nuestros días; es decir, que puede considerarse a los árabes los verdaderos creadores del Álgebra, y hasta tal punto es así, que el vocablo Álgebra es de etimología árabe: se deriva de la palabra alchebr, que significa "reducción", "suma".

Con las invasiones musulmanas a Italia y España llegó el Algebra a nuestra cultura occidental. Es interesante observar que, aun en la Edad Media, entre el siglo V y la mitad del siglo XV, calificada oscurantista, el Algebra hizo progresos considerables, especialmente merced a Gerber, en Francia, y a Leonardo de Pisa, en Italia. Este último fue uno de los que más divulgaron los conocimientos algebraicos en Europa, que en esos tiempos se limitaba a la resolución de ecuaciones de primero y segundo grados. Pasar a la resolución de ecuaciones de grado superior al segundo era sumamente difícil, y a Italia le cupo la gloria de contribuir con la resolución de este problema, pues fue uno de sus hijos, Nicolás Tartaglia (Ver biografías) el que llegó a resolver las ecuaciones de tercer grado. 

A título de curiosidad histórica, es interesante recordar que Tartaglia aceptó el desafío de resolver 30 problemas en un tiempo inferior a 40 días, y que él, mediante ecuaciones de tercer grado, logró resolver en 2 horas. Posteriormente, Cardano, nacido en París en 1501, y muerto en Roma en 1576, contribuyó notablemente al desarrollo del Algebra; y con la colaboración de su alumno Ferrari (1522 a 1565) llegó a establecer la expresión general de la solución de las ecuaciones de cuarto grado. Pero, según parece, para llegar a ese resultado utilizó ideas que pertenecían a

Tartaglia

Tartaglia, el cual se disgustó tanto que retó a Cardano a un desafío matemático, un verdadero torneo científico, en la ciudad de Milán, y que despertó gran interés público.

Es necesario hacer notar que en esa época las apuestas y los desafíos sobre problemas matemáticos sucedían con frecuencia y con el mismo entusiasmo con que en la antigüedad se realizaban los certámenes poético-literarios y los torneos atléticos.

Viete

Fue el matemático francés Francisco Viete (1540 – 1603), nacido en Fontenay-le-Comte en 1540 y muerto en París en 1603, el creador del Álgebra moderna. Se ocupó en la resolución numérica de ecuaciones de grado superior al cuarto, ideó la representación de las incógnitas mediante letras, y reglamentó para estos símbolos las operaciones ya utilizadas con los números.   Es interesante recordar que Viete prestó ayuda al rey Enrique IV de Francia en la guerra contra España, logrando descifrar cartas escritas en clave enviadas por España a sus gobernadores en los Países Bajos. Era tan

difícil descifrar esa clave que los españoles atribuyeron el descubrimiento de la misma a la magia y no a la intervención de un matemático.

Tomado de: MATEMÁTICA MODERNA, ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 3, de Celina Repetto, Hilda Fesquet

Autor: Santiago Casado

En esta artículo encontrará información acerca de las distintas clases de sistemas de numeración que distintas culturas han usado a lo largo de la Historia

Introducción: El Concepto de Base

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
 

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase.

Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10 según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con los que contamos. Hay alguna excepción notable como son la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con alguna irregularidad.
 

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
 

Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números enteros, aunque en algunos pueden confundirse unos números con otros, pero muchos de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de símbolos que los hace poco prácticos.

Pero sobre todo no permiten en general efectuar operaciones tan sencillas como la multiplicación, requiriendo procedimientos muy complicados que sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el sistema de numeración actual, los abaquistas, los profesionales del cálculo se opusieron con las más peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que ser un método diabólico aquel que permitiese efectuar las operaciones de forma tan sencilla.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
 

Sistemas de Numeración Aditivos

Para ver cómo es la forma de representación aditiva consideremos el sistema jeroglífico egipcio. Por cada unidad se escribe un trazo vertical, por cada decena un símbolo en forma de arco y por cada centena, millar, decena y centena de millar y millón un jeroglífico específico. Así para escribir 754 usaban 7 jeroglíficos de centenas 5 de decenas y 4 trazos. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes.
 

Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas... como sean necesarios hasta completar el número. Una de sus características es por tanto que se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque en general se ha preferido una determinada disposición.
 

Han sido de este tipo las numeraciones egipcia, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes.
 

El Sistema de Numeración Egipcio

  Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los números en base diez utilizando los jeroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso.

Al ser indiferente el orden se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.)cuyo número indicaban.

En estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20, 30....90....200, 300.....900, 2000, 3000...... con lo que disminuye el número de signos necesarios para escribir una cifra.
 

El Sistema de Numeración Griego

 El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base decimal que usaba los símbolos de la figura siguiente para representar esas cantidades. Se utilizaban tantas de ellas como fuera necesario según el principio de las numeraciones aditivas.

Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de 5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente este sistema ático fue reemplazado por el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos según la tabla siguiente:

Sistemas de Numeración Híbridos

En estos sistemas se combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100. Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números más complejos. Por lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.

El orden en la escritura de las cifras es ahora fundamental para evitar confusiones, se dan así los pasos para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. .Pero para ello es necesario un cero, algo que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070 ...
 

Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
 

El Sistema de Numeración Chino

La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C. aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias de 10. Utiliza los ideogramas de la figura

y usa la combinación de los números hasta el diez con la decena, centena, millar y decena de millar para según el principio multiplicativo representar 50, 700 ó 3000. El orden de escritura se hace fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.

Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha como en el ejemplo de la figura. No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas, pero aún así a veces se suprimían los correspondientes a las potencias de 10.

Aparte de esta forma que podríamos llamar canónica se usaron otras. Para los documentos importantes se usaba una grafía más complicada con objeto de evitar falsificaciones y errores. En los sellos se escribía de forma más estilizada y lineal y aún se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes regionales. Los eruditos chinos por su parte desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual que desde que incorporó el cero por influencia india en s. VIII en nada se diferencia de este.
 

El Sistema de Numeración Babilónico

Entre las muchas civilizaciones que florecieron en la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas de numeración. En el ssss A.C. se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional para números superiores.

   De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades hasta llegar a 60.

A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en los ejemplos que se acompañan.
 

El Sistema de Numeración Maya

Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal, a la que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas, y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.

Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe a arriba abajo, empezando por el orden de magnitud mayor.

Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cero, con el que indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hace imprescindible y los mayas lo usaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Cómo los babilonios lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.

Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y para expresar los número correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima a la duración de un año.

El año lo consideraban dividido en 18 uinal que constaba cada uno de 20 días. Se añadían algunos festivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercer orden del sistema numérico. Además de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en el que el año se divide en 20 ciclos de 13 días.

Al romperse la unidad del sistema éste se hace poco práctico para el cálculo y aunque los conocimiento astronómicos y de otro tipo fueron notables los mayas no desarrollaron una matemática más allá del calendario.
 

Tomado de thales.cica  (Agregar http:// y .es/rd/Recursos/rd97/Otros/SISTNUM.html al final)

Agradecemos al Sr. Santiago Casado la confección de las hermosas imágenes.

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