Ángulos planares

Trimetría, meridiano estelar, trimetría estelar.

Julio 2007:

De ferman: Fernando Mancebo Rodríguez ---- Personal page

Se pueden ver resúmenes completos de mis principales estudios en:

FÍSICA:
Modelo de Cosmos ||| Modelo atómico||| Velocidad de las fuerzas ||| Imanes : Polaridad Magnética N-S
MATEMÁTICAS:
Coordenadas Radiales ||| Teoría de los conjuntos físicos y matemáticos ||| Ángulos planares: Trimetría ||| Propiedades de la división
VARIOS TEMAS:
Moléculas esféricas: Benceno ||| Metafísica ||| In Herencia Genética
INVENCIONES:
Motor Rotatorio ||| Teja Andaluza
ARTÍCULOS: El triángulo de la Basura : Mecánica cuántica, Relatividad y Teoría Estándar ||| Los núcleos de las galaxias
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Horizont
Unidad métrica de ángulos planares

Visual y triangular parámetro

Horizont = 1 dm ( m )
Horizont 2 = 1 dm 2( m ) 2

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Ya conocemos y hemos estudiado algunas medidas angulares en sus distintas dimensiones, pero siempre refiriéndonos o tomando como punto de referencia a centros radiales sobre los que medir dichos ángulos.
En este caso siempre nos dan ángulos radiales que representan arcos de circunferencia con unidades tales como el grado o radian en medidas longitudinales y grados cuadrados o stereoradianes en medidas de superficies esféricas.
Pero creo que nos falta un centro o marco de referencia muy importante para nosotros, nuestros ojos.
Pues bien, nuestro campo de visión tiene una amplitud que muchos estiman es unos 50º de amplitud lateral.
En este caso yo diría que es más bien un campo de captación de luminosidad, pero hay un campo también muy importante y es el campo real de observación o captación.
Nosotros no captamos adecuadamente todo lo que ocurre en nuestro campo de visión, sino que cuando nos interesa algo dirigimos la mirada hacia este lugar y observamos y captamos el objeto en cuestión dentro de un pequeño campo visual que llamaremos campo de captación.
Pero resulta que si este objeto es grande o está muy cerca, no podemos captarlo adecuadamente en su totalidad y tenemos que visionarlo secuencialmente para poder apreciar todos sus detalles.
Entonces la pregunta sería ¿Qué amplitud de campo visual usamos como máximo para captar adecuadamente una imagen sin tener que mover los ojos?
Pues seguramente cada persona tendrá la suya, pero en general podemos encontrar un valor medio para todas la persona.
Yo he hecho mis propias observaciones y creo que una superficie angular (plana) aceptable sería de 1 dm 2 a un metro de distancia y en forma casi cuadrada, es decir, 10 x 10 cm.
Así pues, (si no existe otra) diremos que nuestra captación visual de un campo horizontal será de 1 horizont cuadrado igual a 1 decímetro cuadrado por metro de distancia, y cuya superficie angular tendrá igual magnitud lateral que de altura ( 1 dm. x 1 dm. = 1 dm2)

Horizont2 = 1 dm2( m )2

¿Y para qué nos sirve este parámetro y porqué utilizamos centímetro en vez de grados?
Pues para tener un parámetro ajustado a nuestras peculiaridades de visión, y usamos medidas métricas angulares, con objeto de poder ajustar las superficie que observamos en medidas métricas.
Cabría entonces preguntarnos, bien ¿Cuántos horizont puede tener una circunferencia vista desde su interior, o una esfera?
Pues con este tipo de medidas planeres no podemos abarcar una circunferencia ni esfera ya que estas medidas representan a un plano y no una superficie curvada como es la circunferencia.
No obstante, podemos hacer sucesivas aplicaciones de ángulos planares, es decir, ir aplicando distintas observaciones u ojeadas alrededor nuestro y así abarcar incluso la totalidad de la esfera celeste.
En este caso podríamos decir que la circunferencia y esfera tienen unos 20 Pi y 400 Pi horizont u horizont 2 aproximadamente, es decir, 62,8 H y 1256 H 2 aprox.
Las fórmulas usadas con este tipo de medida son muy simples como se vislumbra. Su uso más simple sería:

S = $ x d2

Donde S es la superficie que deseamos conocer de un objeto lejano. $ la superficie angular que se pueden medir con un simple dispositivo para tal efecto (un visor cuadriculado) y por supuesto la distancia d del objeto que sí es necesario saberla.

Consideraciones:-

Con la fórmula anterior -y manteniendo la superficie del objeto observable que como es lógico es inalterable-, si hacemos disminuir la distancia, es decir nos vamos acercando paulatinamente al objeto, vemos que la superficie angular va tendiendo a infinito lo cual nos dice que estamos usando un parámetro eminentemente visual el cual solo se corresponde con la realidad en cuanto que nos permite obtener mediciones a partir de nuestro campo de observación y la fórmula aplicada.
En este caso, si pudiéramos observar con un hipotético e ideal microscopio y nos acercásemos a un átomo hasta estar junto a él, lo veríamos con una superficie angular de enormes proporciones, y ya sabemos cuan pequeño que es en realidad.

Ángulo planar longitudinal

Aunque por razón de su fundamento visual hemos empezado por ver la superficie angular planar, lógicamente también existe la longitud angular planar.
Esta sería aquella amplitud plana y lineal de nuestro horizonte de visión con una magnitud de 1 dm al metro de distancia.
Por supuesto su unidad de medida sería el horizont = 1 dm (m).
Y la fórmula utilizable sería pues:

L = x d

Donde L sería la longitud frontal de un objeto observable cualquiera. la longitud angular y d la distancia a que se encuentra el objeto.
Por supuesto que todas las consideraciones de las superficies angulares planares son válidas para las longitudinales.

Definción:-

Ángulo planar es una estructura geométrica angular que está formada solamente por líneas y superficies planas sometidas a mediciones exclusivamente métricas.
Consta de:

---Un vértice angular donde se cortan las líneas o planos que forman el ángulo.
---Los lados que son las líneas o planos que forman el ángulo.
---El horizonte angular que es la línea o plano que corta al ángulo perpendicular a la distancia d, y donde se sitúan los objetos a observar.
---La distancia d o bisectriz del ángulo sobre la cual se miden las unidades de distancia y la distancia de los objetos observables.

Las dimensiones angulares vienen determinadas por la amplitud o abertura del ángulo y la distancia d desde el vértice angular hasta el horizonte angular donde se encuentra el objeto observable.

Medición de ángulos planares

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En el dibujo siguiente se muestra lo simple que es medir un ángulo planar.
Basta con una escuadra milimetrada y posicionarla como se muestra en el dibujo.
Después se aplica la fórmula de ángulos planares y obtenemos la longitud buscada.
Para medir superficies planares nos bastaría con un visor cuadriculado que nos marcara una superficie aproximada del objeto observado o de su marco de encuadre y observación.
Esto lo veremos después cuando tratemos la construcción de superficies planares.

Triangulación

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Como vemos en el dibujo, la triangulación es muy sencilla con ángulos planares. De tal forma que si contamos con una visor doble (de posición y de angularidad) bien ajustado, con solo observar el ángulo de desfase del visor podemos obtener la distancia al objeto observado.

En el dibujo se expone un esquema simple del visor.
Éste consta de dos lentes de observación completamente alineadas en paralelo y a una unidad determinada de distancias entre estas dos lentes.
La lente 1 es la encargada de fijar el punto u objeto a observar sobre su centro de medida.
La lente 2, que por ser su campo de visión completamente paralelo a la lente 1, nos marcará un desfase entre el objeto y el punto central de medida.
Este desfase es la angularidad Aº que será la que divida a la unidad de separación entre las lentes para hallar la distancia al objeto observado, tal como se ve en el dibujo ( d = 1 / Aº )

Pues bien, una vez obtenida la distancia ya podemos con la lente 2 solamente medir la angularidad del objeto observado y hallar sus dimensiones reales.
Así pues, este es un dispositivo para medir distancias y dimensiones de los objetos lejanos.

Trimetría, meridiano estelar, trimetría estelar.

Ya conocemos que la trigonometría estudia la relación entre la amplitud de los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos.
Estos estudios trigonométricos se hacen con parámetros y tablas de valores angulares ya sea en grados o radianes y por tanto se hace bajo la consideración de ángulos radiales.
Sin embargo, nuestros parámetros de medidas son diferentes, es decir, son ángulos planares cuya métrica es la simple relación entre el plano frontal o horizonte de observación (que sería el seno en trigonometría) y la distancia a ese plano u horizonte (que sería el coseno en trigonometría).
Por tanto como nuestro estudio varía en parámetros, tablas y características de sus componentes, pues tendríamos que llamarle de otra forma a estos métodos de medida.
Así que le llamaré TRIMETRÍA, si nadie se opone.

Horizont: Sus múltiplos y divisores

Hemos comprobado que el horizont es una unidad propia para la observación simple de nuestra capacidad ocular, y para ello está diseñada esta unidad de medida.
Pero sin embargo pueden existir muchos supuestos en que sea necesario utilizar tanto múltiplos como divisores de este unidad u horizont.
Así si nos fijamos en las figuras geométricas como pueden ser los triángulos, conos, pirámides, etc., resulta que aquí lo ideal sería usar medidas relativas equivalente, es decir, no de 1/10 como es el horizont sino de 1/1 como sería el deca-horizont.
Por tanto implantaremos el deca-horizont ( Dh ) como medida angular en trimetría de figuras.
Por otro lado en supuestos y circunstancia tales como enmarcar un grupo de estrellas del cielo, pues sería más conveniente usar un divisor del horizont, puesto que éste sería más grande de lo deseado.
En este caso usaremos el deci-horizont (dh) que sería una unidad relativa de 1/100.
En el dibujo siguiente vemos un ejemplo de esto:

**** No obstante, entiendo que en un futuro se usen comúnmente expresiones métricas referidas al centímetro, tales como la de "ángulo de 80 centímetro; de veinte centímetro, de 2 centímetros, etc.

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Meridiano estelar

Además en este dibujo vemos la propuesta de uso de un meridiano estelar consecuente con la estructura del mapa estelar, sin tener en cuenta el plano de la eclíptica y del plano de giro de la tierra que son demasiado cambiantes y poco ubicables.

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Bien, revisado estos temas someramente, pasaremos después a revisar más a fondo el tema de la trimetría en las figuras geométrica.

Trimetría en las figuras geométricas.

Como hemos dicho, consideraremos a la trimetría como una pequeña rama de la geometría que estudia métodos de medidas de los ángulos planares y su triangulación, apoyándose exclusivamente en medida métrica.
Mientras que la trigonometría se dirige exclusivamente a los triángulos rectángulos y usa tablas de valores angulares, en trimetría se dirige a todo tipo de triángulos, conos y pirámides (* y otros )y basa sus parámetros de amplitud angular en la simple relación entre la base y la altura de estas figuras geométricas y las características de proyección que tienen su ángulo (desde el vértice).
Esta relación particular nos da la amplitud específica para cada figura.
Además no es necesario usar tablas ya que no existe otra relación que la antes mencionada.
En este sentido, el ángulo de una figura (triángulo por ejemplo) en trigonometría puede hallarse con un transportador de ángulos, mientras que en trimetría la amplitud angular puede hallarse igualmente con una escuadra milimetrada.

[--(* y otros ) Además de triángulos, conos y pirámides, con la trimetría de angularidad variable podemos construir todo tipo de figuras, semejante a lo que hacemos con las coordenadas cartesianas.]

En los siguientes dibujos se ve algunas figuras en las que se puede utilizar la trimetría:

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En este dibujo anterior la primera observación nos lleva a comprender que la relación entre la base L (u horizonte) del triángulo y la altura (o distancia d) nos da la valoración del ángulo (Aº) de dicho triángulo en "Decas" decahorizonts.
También vemos que esta propiedad es aplicable a todo tipo de triangulos.

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Angularidad

La angularidad es simplemente el valor del ángulo de la figura que estemos considerando. Por tanto en los ángulos lineales o ángulo simples su angularidad Aº es la medida de este ángulo, a saber, Aº = L/d.
Sin embargo en las superficies angulares, (por ejemplo en la proyección de un cuadrado, círculo, triángulo, estrella, o de una figura compleja cualquiera –una flor-) su angularidad no puede ser la medida del ángulo exterior de dicha figura puesto que ésta puede tener diferentes ángulos exteriores y además puede tener huecos dentro de dicha superficie.
En este caso, tenemos que escoger un ángulo medio el cual elevado al cuadrado nos de la angularidad media $ de dicha figura. $ = S/d 2

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Angularidad variable

Ahora bien, una propiedad usada en trimetría es la aplicación de la angularidad variable para construir figuras.
Esta propiedad consiste en ir cambiando en las figuras o campos de proyección su angularidad para cada valor de la distancia d.
Con esta propiedad podemos obtener figuras de todo tipo.
Por tanto, podemos explicar la anterior característica en la forma siguiente:
---Angularidad invariable será cuando la angularidad de una figura sea igual para cada tramo o valor de la distancia d.
---Angularidad variable será cuando la angularidad de una figura vaya cambiando para cada tramo o valor de la distancia d.
Esta cuestión es explicada con sus fórmulas correspondientes.

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Formulas para construir figuras de angularidad variables

Ya conocemos las fórmulas básicas de trimetría tanto para ángulos lineales ( L = Aº x d ) como de superficies ( S = $ x d 2 ).
No obstante cuando usamos ángulos variables para construir figuras, pues necesitamos sustituir éstos parámetros por funciones algebraicas para hacer que dichos ángulos vayan cambiando según las variables aplicadas.
Las distintas posibilidades de sustitución de parámetros y de obtención de distintas figuras son numerosas, y con el tiempo quizás veamos muchas de ellas.
Por el momento escogeré alguna con la que podemos construir estás figuras y que pongo a continuación.
No obstante, tendremos primero que comenzar a proponer bases de uso en trimetría y quizás una de ellas, (quizás en el futuro se cambie) sería la de considerar que tanto ángulos lineales como ángulos de superficies no deberían en principio tener valores negativos.
En lógica se considera que un ángulo o una superficie siempre serán positivos en sus valores.
Así pues, una fórmula que construye una figura geométrica será considerada solo en el tramo que sean positivos sus valores resultantes.
Veamos algunas fórmulas para construir estas figuras:

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Aplicación de angularidad según la triangulación de angulos planares longitudinales.

Como vemos en los dibujos anteriores y siguientes, los ángulos planares pueden ser observados con perspectiva central, o sea, cuando plano a observar o medir está situado en el centro de visión o consideración del mismo.
En este caso, la perpendicular de observación o medición coincide con el centro de plano o figura a considerar y por tanto el plano a observar representa la base de un triángulo isósceles observado desde su vértice superior. (Ver dibujos)
Pero también podemos considerar u observar una figura de modo no centrado, es decir, que nuestra perpendicular con el plano de dicha figura coincida con un extremo de sus lados (observación en ángulo recto) o que esté situado en cualquier parte del plano que no sea el centro o extremo (observación irregular).
--En el primer caso al estar centrada la observación sobre el centro del plano, pues a cada lado de dicho centro quedará la misma angularidad, es decir, Aº/2 sobre el ángulo superior y Aº/2 sobre el ángulo inferior.
--En el segundo caso o de observación rectangular, toda la angularidad Aº quedará sobre el lado superior, o inferior si así lo decidimos.
--En el tercer caso, u observación irregular, habrá que conocer el porcentaje de ángulo que se aplicará a la parte superior y a la parte inferior.

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Algunos ejemplos de construcción de figuras de angularidad variable.

En los siguientes dibujos vemos ejemplos de cómo construir figuras de angularidad variable.
En ellos vemos los tres tipos de triangulación, las cuales se expresan en los dibujos.
Primeramente veremos los ángulos lineales y más tarde pondremos los de superficies angulares.

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Intervalo oscilante.

Al igual que hemos visto en coordenadas radiales, el entorno o intervalo oscilante puede ser aplicado en las fórmula de trimetría para conseguir figuras espaciales como por ejemplo rombos y figuras romboides.
Recordemos que el intervalo oscilante consiste en la aplicación a una variable de valores oscilantes entre n y m.
Si tenemos una expresión oscilante ( x ) 0/5 (ver dibujo) quiere decir que x va tomando valores de 0 a 5 y de 5 a 0 continuadamente (0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,1… etc.)

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Uso de parámetros trigonométicos

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En estos ejemplos estamos utilizando las fórmulas de trimetría pero incluyendo parámetros de trigonometría con objeto de estudiar las posibilidades que nos dan estos parámetros trigonométricos.
En el dibujo anterior vemos cómo construimos una circunferencia (en triangulación isósceles).
En el dibujo siguiente vemos cómo podemos construir toda una gama de curvas con parámetros trigonométricos.
Cuando aplicamos exponenciales:
--Con exponente variable (x) a los senos y cosenos obtenemos curvas (hacia el interior) que van desde la semicircunferencia cuando aplicamos x=1; recta (o rombo) cuando aplicamos x=2 y curvas cada vez más pronunciadas hasta conseguir con x=infinito un doble ángulo recto.
Cuando aplicamos raíces:
--Raíces con exponente variable ( x ) a los senos y cosenos obtenemos curvas (hacia el exterior) cada vez más pronunciadas hasta llegar a construir un rectángulo cuando x=infinito.

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En el siguiente dibujo tenemos figuras elípticas que se consiguen dando distintos valores a la variable x

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Constantes.

Como vemos en los dibujos situientes, con angularidad variable podemos obtener diferentes tipos de figuras geométricas si hacemos constante cualquiera de sus parámetros.
---Si hacemos constante el horizonte L obtendremos cuadros y rectángulos en ángulos longitudinales y cubos, cilindros, etc., en ángulos superficies planares.
---Si hacemos constante el ángulo planar Aº obtendremos triángulos en ángulos longitudinales y pirámides, conos y proyecciones en superficies planares.
---Si hacemos constante la distancia d obtendremos horizontes o líneas perpendiculares en ángulos longitudinales y horizontes cuadrados o superficies planas (pantallas) perpendiculares en superficies planares.

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Diversidad de formas de las superficies planares:

Campos e imágenes de proyección.

Hemos visto que la superficie planar se puede considerar como una figura de proyección que se extiende a lo largo de una distancia d o simplemente como un campo visual que se extiende también a lo largo de una distancia determinada.
Este carácter de proyección hace sea posible la representación de cualquier tipo de figura, desde un simple cuadrado o círculo hasta la proyección de la figura un número, una flor o un animal.
Este enorme campo de posibilidades también hace difícil la correspondencia entre las superficies planares y sus simples ángulos longitudinales.
Así es fácil y tiene clara correspondencia el ajuste y representación de una superficie cuadrada con el ángulo lineal que nos daría su lado.
Pero no podemos encontrar un ángulo lineal representativo de una figura compleja como puede ser la proyección de la figura de un animal.
Sin embargo (y como ya hemos visto en dibujos anteriores) sí hay un parámetro que tiene correspondencia entre ángulos lineales y ángulos de superficies y es su angularidad, es decir, el “ángulo medio” de la superficie y que sería simplemente la raíz cuadrada de la superficie de la figura, que como vemos se corresponde con el lado de una superficie cuadrada.
Y si estamos considerando solo un simple campo de observación, también sería la raíz cuadrada de este campo de observación.
Así pues, esta angularidad es igual a la unidad de superficie angular $ de cada figura o campo de observación.
Así que como la angularidad tiene correspondencia entre ángulos lineales y ángulos de superficie, pues tendríamos que el cuadrado de la unidad de ángulo lineal Aº nos daría la unidad de ángulo de superficie $ ( Aº 2 = $ )
Pero al mismo tiempo la angularidad de las superficies se da en todos y cada uno de sus puntos, de tal manera que dicha angularidad representa la organización estructural de la superficie.
Así si tomamos una minúscula porción de la superficie (por ejemplo el ojo en la superficie de tigre) veremos que la angularidad de esta superficie (figura del tigre) nos permite distribuir adecuadamente a todos los demás elementos de la figura con la fórmula de angularidad que estemos usando.

Por tanto de lo anterior podemos sacar las siguientes conclusiones:

1.- Los parámetros y fórmulas de las superficies planares no definen la totalidad la estructura de éstas superficie, pero miden, manejan, proyectan y transforman a dichas superficies.
2.- Las superficies planares contienen, además los estos parámetros y formulas que estamos describiendo, un modelo o PLANTILLA que es el que transformamos medimos y proyectamos con los parámetros descritos.

Esto lo vemos claramente en la proyección de películas, donde el proyector con sus peculiaridades y características solo emite o proyecta la diapositiva de la película, pero no construye a ésta diapositiva, sino que les es suministrada para su proyección.
En las superficies planares esta plantilla puede ser simple como un cuadrado proyectado que nos da una pirámide cuadrada; un círculo proyectado que nos da un cono; o una figura compleja que nos da una proyección de figura compleja.

En el dibujo siguiente vemos ejemplos de proyección de figuras tanto en ángulos no variables como en ángulos variables.

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Construcción de figuras de superficies planares

Pueden existir varias formas de contemplar y estudiar a la superficies planares, sin embargo y siguiente la línea inicial de considerar a las superficies planares como campos o marcos de observación visual, mi modo de estudiarlas será el encuadramiento de cualquier superficie planar, (ya sea una figura geométrica o cualquier tipo de figuras u objetos de la naturaleza), enmarcándola dentro de un campo visual.
Pues bien, será a este campo visual o marco de observación a quien someteremos en su totalidad a las fórmulas y consideraciones que hagamos sobre las superficies planares.
Como vemos en el dibujo siguiente, será a todo el marco de observación al que aplicaremos las fórmulas planares, y no solo a la figura que va representada dentro de este marco.
La razón es muy clara: Es la manera más simple de manejar las fórmulas planares para medir con más facilidad, conservar la relación de angularidad entre las distintas partes de la figura y no distorsionar esta figura cuando aplicamos las citadas fórmulas de transformación.

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En el primer dibujo tenemos instrumentos simples de medición de superficies planares como pueden ser una simple escuadra milimetrada (o un visor también milimetrado) a los cuales situaremos a la distancia adecuada para proceder a medir la unidad angular de superficie, es decir, a un decímetro de distancia si la escuadra está milimetrada en centímetros.
El visor se supone que ya tienen correctamente proporcionado en sus parámetros de observación.

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En este dibujo anterior contemplamos ya un ejemplo de los parámetros que nos encontramos en una proyección de superficies planares.
En este caso por ser una proyección es una composición planar de angularidad invariable, es decir, su unidad de superficie angular $ se mantiene a lo largo de toda la proyección.
---Vemos en primer lugar que el conjunto del foco de la proyección de esta película nos proporciona una estructura piramidal con base en la pantalla y vértice en el foco de emisión de la película.
Esta pirámide o conjunto del foco luminoso de emisión tiene un volumen de 130,64 metros cúbicos, del cual se ve su ajuste en el dibujo con arreglo a la fórmula que vimos anteriormente.
---Observamos además que si, entre la pantalla y el vértice o foco de emisión, cortamos dicho foco con otra pantalla más pequeñas, pues también obtenemos la figura proyectada con las mismas proporciones de angularidad en todas y cada uno de sus puntos. ( Angularidad de a-b = angularidad de a’-b’).
---Así mismo vemos que si la propia máquina de proyección llevara ya ajustada su angularidad de emisión (**), podríamos saber con exactitud las dimensiones que tendría el cuadro de la película sobre la pantalla en cualquiera de las distintas distancias a que se pudiera situar dicha pantalla. Todo ello con la fórmula de superficies planares que está en el dibujo. [S = $. d2 = 0'09 x (16'33)2 = 24 m3.)].
** Si no sabemos cuál es la angularidad de la máquina de proyección, basta con hacer una prueba a 1 metro de distancia y medir la superficie que obtenemos en metros cuadrados. (Obtendremos Decahorizonts cuadrados)

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En el siguiente dibujo vemos (con un ejemplo práctico como es nuestra luna) como podemos estudiar todos y cada uno de los elementos de una superficie lejana -si conocemos su distancia- y su relación entre ellos con solo medir sus ángulos con instrumentos simples como puede ser una escuadra.

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Ahora bien, como las medidas de angularidad planar de superficie $ que resultan son muy pequeñas, podemos también nombrarlas como medidas métricas simplemente (en este caso deríamos que la angularidad $ de la superficie que estamos midiendo S es de 1'8 milímetros cuadrados).

Algunos ejemplos de construcción de figuras de superficies planares:

Comenzaré con una figura simple con la que pueda exponer algunos de los parámetros que hemos visto antes.

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Esta es una figura de angularidad constante y también a distancia predeterminada que nos produce una superficie planar a la distancia expuesta (20 metros).
Vemos que en principio esta figura es un cuadrado o pantana de 64 metros cuadrados y situada a 20 metros del vértice o punto de observación y medición.
Pero como dijimos antes, esta figura podría tener cualquier forma y contenido, (incluso ser un cartel de publicitario), con tal que esté situado a veinte metros y tenga una superficie de 64 metros cuadrados que es lo que nos miden los parámetros planares que usamos.
En principio, esta indefinición de las características interiores de la superficie planar puede parecer negativa para las aspiraciones y expectativas que pedimos a teoría de ángulos planares, pero muy al contrario, puede ser una ventaja pues ello nos permite que podamos abarcar a todo tipo de superficies desde un simple cuadrado hasta el más complicado dibujo o escena que se nos presente.
Así si estamos observando un paisaje de la naturaleza, podemos encuadrarlo y estudiar todos y cada uno de sus ángulos; todas y cada una de las superficies de sus figuras internas; todos y cada uno de sus puntos.
Si lo que pretendemos es construir (matemáticamente) una superficie o escena a cierta distancia, basta con proveernos de una plantilla o modelo y proyectarlo a una distancia determinada mediante las sencillas reglas de trimetría que estamos viendo.

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Con este segundo ejemplo podemos ampliar conceptos y contemplar más propiedades de los ángulos planares y de su medidas trimétricas.
En este caso hemos construido una pirámide cuadrada y tenemos expuesta la fórmula trimétrica del volumen ( V = ( $ . d3 / 3) para analizarla.
Pero observando esta fórmula vemos que construye y a la vez calcula los parámetros y valores de la figura construida (pirámide).
Es decir, no es simplemente una fórmula de descripción de una figura geométrica sino que a la vez lleva emparejado el cálculo de la misma para las distintas posiciones que deseemos tomar de la variable x que es la distancia variable en este caso.
Así pues, cuando escogemos un vértice (vertex), demos un ángulo $ (0’16 Dh2) y escogemos una dirección d con distancias variable x entre 0 y 20, estos parámetros nos construyen y describen una pirámide con una máximo de 426,66 metros cuadrados.
Si damos distintos valores a x (distancia o altura de la pirámide) obtendremos distintas valores de los cortes piramidales que nos da esa distancia.

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Superficies de angularidad variable.

En dibujo siguiente tenemos un ejemplo de construcción de figuras de angularidad variable.
En él vemos que podemos construir y hallar la superficie planar de éstas figuras con solo aplicar la fórmula correspondiente y dar distintos valores a las variables.
Los distintos cortes planares según el valor de las variables, nos dan las diferentes superficies interiores de la figura.
Recordemos que la estructura interior de estos cuerpos geométricos pueden ser compactos o contener cualquier clase de consistencia y forma, como es el caso del dibujo, que es una proyección de angularidad variable.

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