Teoría de los conjuntos físicos y matemáticos.

De ferman: Fernando Mancebo Rodríguez ---- Personal page

Se pueden ver resúmenes completos de mis principales estudios en:

FÍSICA:
Modelo de Cosmos ||| Modelo atómico||| Velocidad de las fuerzas ||| Imanes : Polaridad Magnética N-S
MATEMÁTICAS:
Coordenadas Radiales ||| Teoría de los conjuntos físicos y matemáticos ||| Ángulos planares: Trimetría ||| Propiedades de la división
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ARTÍCULOS: El triángulo de la Basura : Mecánica cuántica, Relatividad y Teoría Estándar ||| Los núcleos de las galaxias
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Características de los Conjuntos: Clases, tipos y operaciones
(1-Mayo-2007, ferman.)

Este estudio, procedente de mi obra de metafísica de 1995, desearía establecerlo como sistema y estudio de las características de los conjuntos físicos y matemáticos.
Esta teoría no pretende sustituir ni competir con la actual, sino introducir nuevos conceptos, ámbitos de aplicación y operaciones matemáticas.

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Los conjuntos son agrupaciones de elementos, cuestión esta que le da su carácter y como veremos sus propiedades y sobre todo su funcionalidad, razón por la cual solo contemplaremos un resumen de los conjuntos vacíos.
La clase y tipo de conjuntos puede ser de muy distinta índole y naturaleza pero nosotros los vamos a contemplar de forma que satisfagan a nuestros propósitos de estudio en la forma siguiente, atendiendo principalmente a sus elementos constitutivos:

-- CLASE o denominación
-- ANALOGÍA o semejanza entre los elementos
-- TIPOS DE CONVERGENCIA
-- CARACTERÍSTICAS RESULTANTES.

CLASES

Esta teoría entiende que:

"Clase es la denominación y expresión lingüística de un conjunto dependiendo de las peculiaridades y características de sus elementos así como de las exigencias y requerimientos que les pidamos a estos elementos para integrarse en el conjunto".

La clase de conjunto depende por tanto de los elementos que los constituyan y de las exigencias específicas para formar dicho conjunto.
Así tendremos un conjunto de letras, numérico, de notas musicales, de flores, de libros, etc.
Pero también se puede exigir a los elementos características y requerimientos especiales para formar el conjunto, como por ejemplo:
Conjunto de flores amarillas; conjunto de manzanas maduras y con gusano; conjunto de hombre calvos y con bigote; conjunto de árboles de hojas dentadas, etc.
Todas estas clases de conjuntos como vemos están definidas por su nombre y expresión lingüística.
Como la denominación y diversidad de clases de elementos que pueden constituir un conjunto es casi ilimitado y muy diverso, y las exigencias y requerimientos para formar conjunto también, pues resulta que solo ateniéndonos a su clase puede resultar poco adecuado el estudio de los conjuntos de una forma estructurada y organizada.
Por ejemplo, si observamos una manzana, a esta podemos incluirla en muchos conjuntos diferentes como pueden ser: Un conjunto de manzanas, un conjunto de frutas, un conjunto de vegetales, un conjunto de cosas, etc. Un conjunto de manzanas verdes, maduras, grandes, pequeñas, etc.
Todos ellos pueden contener a nuestra manzana, pero son conjuntos muy diferentes unos de otros.
Así que habría que buscar otros parámetros para estudiar los tipos de elementos de un conjunto, aparte de su clase definido por su nombre.
Para ello buscamos otras características como las expuestas anteriormente.

ANALOGÍA : Según las características de los elementos componentes

En lo referente a la ANALOGÍA o semejanza de los elementos o componentes de un conjunto, éstos pueden ser: IGUALES, HOMOGÉNEOS O HETEROGÉNEOS.

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Son IGUALES, como su nombre indica cuando todos ellos tienen la misma forma, estructura, clase, etc. es decir, son iguales todos sus elementos.

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Son conjunto HOMOGÉNEOS, cuando sin ser iguales sus elementos, pertenecen a un mismo tipo o géneros.

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Son HETEROGÉNEOS, cuando sus elementos son totalmente diferentes.

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TIPO: Tipo de inter-relación entre los elementos componentes

Como vemos más adelante, la consideración de los tipos de conjuntos pueden ser muy adecuada para una comprensión general de los mismos, mientras que las características analógicas o de semejanza de los conjuntos serán más utilizadas para un estudio profundo, matemático y operativo de los conjuntos.

En cuanto al TIPO de conjuntos lo dividiremos en:

---- DIFUSOS,
---- Conjuntos EN RELACIÓN y
---- Conjuntos DE FUSIÓN.

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Serán CONJUNTOS DIFUSOS cuando sus elementos a pesar de estar unidos formando conjunto, no tienen ningún tipo de relación o compenetración entre ellos.
Serán CONJUNTOS DE RELACIÓN cuando los elementos o sub-conjuntos que los forman están unidos entre ellos bajo cualquier tipo de relación o coordinación.
Serán conjuntos DE FUSIÓN, cuando sus elementos se unen entre sí formando con esta unión unos elementos nuevos y normalmente con distintas propiedades de la de sus componentes.
En los conjuntos de Relación y/o Fusión es muy interesante saber cual es el tipo de relación que les une pues ésta puede darles las propiedades determinantes de conjunto.
Así que no basta con decir que es un conjunto de relación o fusión sino que lo importante en definir en todo momento la clase de relación que los une, de tal modo que pierde en general su propia definición de conjunto para adquirir el nombre de la relación y sobre todo el de cuerpo resultante de este conjunto.

Ejemplos: Con nombre de cuerpos:
Cerebro, y no conjunto de neuronas en relación.
Mente, y no conjuntos de elementos senso-inteligentes
Automóvil, y no conjunto de piezas mecánicas.

Con tipos de relación:
Sucesión matemática, y no conjuntos de número relacionados etc.

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Pero como hemos dicho en los conjuntos podemos observar la cualidad o característica de la resultante, la cual será el carácter y propiedades que el conjunto toma por la razón de la conjunción de sus elementos.
En el caso del automóvil la resultante del ensamblaje coordinado de todas las piezas del mismo es un compuesto con unas propiedades que todos conocemos.
Al igual un animal es un conjunto de fusión formando por elementos de tipo bioquímico con unas características resultantes bastante creativas y espectaculares.

---- Conjuntos DIFUSOS

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La cohesión y relación de los elementos de un conjunto puede indicarnos las distintas categorías en que podemos dividirlos o nombrarlos para su estudio.
En este sentido, serán conjuntos DIFUSOS aquellos cuya cohesión o relación entre los elementos sea mínima y no pueda ser considerara como una propiedad adquirida del conjunto.
Como ejemplos de conjuntos Difusos tendríamos a una acumulación o montón de piedras, ladrillos, tornillos, golas, etc.; A una cesta de manzanas, peras, etc.; a Cualquier conjunto de número, letras, etc. que no guarden ninguna relación operativa ni lingüística entre ellos. Etc.

---- Conjuntos EN RELACIÓN

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En el caso de estos conjuntos, la relación y cohesión entre ellos es mucho mayor que en la de los conjuntos Difusos.
Los elementos de un conjunto en RELACIÓN siguen ciertas normas de cohesión e interrelación entre ellos con lo cual el grupo o conjunto adquiere ciertas características resultantes que dan consistencia y definición al conjunto.
Con objeto de distinguir entre conjuntos de fusión y conjuntos en relación (que tiene cierta dificultad) nosotros podrían considerar que:
“En los conjuntos de relación los elementos pueden ser distinguidos claramente, mientras que en los conjuntos de fusión sus elementos no pueden ser distinguidos normalmente y solo de aprecia el conjunto o cuerpo resultante de dicha unión”.
Ejemplos de conjuntos en relación pueden ser:
Una sucesión matemática (1,2,3,4,5….) cuyos elementos o números están interrelacionados entre ellos por medio de una lógica composición o leyes y ordenamientos matemáticos. En definitiva por medio de una estructuración inteligente y operativa.
Otros ejemplo son: Cualquier operación matemática 12 x 12 = 144; un botellero con sus botellas ordenadas; un armario con sus trajes bien puestos; una desfile militar; etc.
Pero además podemos considerar como conjuntos en Relación a muchos conjuntos de Fusión en los cuales solo deseamos observarlos de una forma particular y subjetiva sin atenernos a su completa consideración.
Por ejemplo, si observamos un árbol del que solo deseamos estudiar sus componentes visibles tales como tronco, ramas y hojas.

---- Conjuntos DE FUSIÓN.

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En los conjuntos de FUSIÓN sus elementos no pueden ser observados normalmente.
En este tipo de conjuntos, sus bien estructurados, cohesionados y refundidos elementos están tan bien organizados que sus características y propiedades particulares quedan ocultas o difuminadas, adquiriendo en cambio nuevas propiedades y características como conjunto.
Por tanto en este tipo de conjuntos de Fusión, sus particularidades hacen que estos conjuntos adquieren su propio nombre según las características adquiridas.
Por ello, estas particularidades como conjunto hacen que podamos denominarlos como Cuerpos físicos, o matemáticos según el caso.
Como ejemplos de conjuntos de Fusión podríamos poner a la mayoría de los cuerpos físicos de la naturaleza, en los cuales no se ven claramente reflejados sus elementos constituyentes sino sus cuerpos físicos resultantes.
Así tendríamos como ejemplos a un árbol, un animal, un huevo, un automóvil, el mar, el sol, etc. etc.

Así pues, y resumiendo, de la observación y estudio de los conjuntos de elementos nosotros podemos agruparlos y definirlos según el siguiente cuadro general:

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Características Resultantes

Lógicamente cada conjunto por el hecho de contener distintos elementos y con distinta cohesión y relación entre ellos, pues nos da unas características y propiedades particulares.
Y precisamente estas características y propiedades son las que dan valoración y distinción al conjunto.
En este caso si nos fijamos detenidamente, vemos que a mayor índice de cohesión y compenetración entre sus elementos mayor sería su índice de distinción, especialización y valoración como conjunto de elementos.
Así pues, por norma general todo conjunto de fusión tendrá un estatus y distinción propia mayor que un simple conjunto difuso en el que sus elementos no contribuyen a ningún tipo de construcción interior que pueda proporcionarles esta distinción y caracterización propia.
En sí la denominación de los conjuntos de fusión como cuerpos físicos o matemáticos con su propio nombre, nos define ya su importancia como conjuntos con una consistencia y valoración espacial y particular.
Por tanto las características resultantes de la unión de elementos en conjuntos le da su consistencia, razón de ser y calidad como conjunto, así como su propia definición y estructuración.

Índice de CONVERGENCIA

Un parámetro transportable y común entre conjuntos y sistemas caóticos es el parámetro de convergencia entre los elementos que intervienen en ambos ámbitos.
Ya vimos en el estudio de mi modelo cósmico, que el caos cambia, “se soluciona” o se puede medir mediante la convergencia entre los elementos que intervienen.
De igual manera, la convergencia es un parámetro para medir el índice de cohesión entre los elementos de un conjunto.
Convergencia y cohesión son por tanto sinónimos.
Pues bien, hemos usado en esta teoría tres niveles de convergencia para los conjuntos (difuso, conjunto en relación y conjunto de fusión), no obstante en posteriores estudios quizás veamos que también puede ser útil fijarnos en un índice de convergencia traducido a porcentaje.
En el caso consideraremos el porcentaje ( % ) como índice de convergencia de los elementos de un conjunto. Si todos los elementos son convergentes entre ellos formando un cuerpo físico real entonces diremos que el índice de convergencia es del 100 %, mientras que si no existe ninguna convergencia entre los elementos diremos que el índice de convergencia es del 0 %. En próxima revisiones quizás estudiemos la aplicación matemática de estos porcentajes teniendo en cuenta el número de elementos de los conjuntos y su convergencia porcentual.
Este índice de convergencia es interesante porque puede decirnos algunas peculiaridades de los conjuntos.
Por ejemplo, si observamos dos conjuntos con todos sus elementos iguales, puede que uno forme un conjunto difuso y el otro sea un conjunto de fusión.
Así será si observamos todas las piezas sueltas de un automóvil formando un motón, y al tiempo observamos ya el coche montado y circulando por la calle.
En la primera observación veríamos un conjunto difuso de piezas y en la segundo observación veríamos a un perfecto conjunto de fusión.

Matemática pura y matemática de conjuntos.

En realidad la matemática pura es matemática de conjuntos puesto que su misión es la de considerar, ajustar y manipular unidades y conjuntos de valores para darnos soluciones numéricas resultantes que siguen siendo soluciones de conjuntos aunque sean eminentemente numéricos.
Por tanto lo que ocurre en la matemática pura es que nos abstraemos de la realidad física de los elementos para ajustar solo su valor numérico.
No obstante si al final no aplicásemos e hiciésemos una correspondencia entre valores matemáticos y su aplicación real sobre los elementos físicos, pues no tendrían mucha razón de ser todos los teoremas y soluciones matemáticas. Su práctica en los elementos físicos es lo que le da valor real.
Pues bien, es aquí donde comienza a tener valor y consistencia la matemática de conjuntos. Cuando se tienen en cuenta, para la resolución y ajuste de operaciones en los conjuntos físicos tanto, a la operatividad matemática como la consistencia y peculiaridades de estos conjuntos y sus elementos.
Por tanto en las matemáticas de conjuntos hemos de ajustar sus valores pero además hemos de respetar sus formas de unión, estructuración, interrelación, etc. para no destruir las peculiaridades propias de los conjuntos y hacer que los resultados matemáticos sean fieles a los resultados estructurales de estos conjuntos.
Ahora bien, respetando y amoldándose a estar normas estructurales, las matemáticas pueden llegar a todos y cada uno de los ajustes numéricos de dichos conjuntos, con lo cual se ve que es necesaria una teoría matemática de conjuntos –que no tienen la actual- que abarque todas las operaciones matemáticas tradicionales, pero adaptadas a la realidad física de los elementos.
Y esto es lo que pretender comenzar a desarrollar esta teoría física y matemática de conjuntos:
A estudiar, manejar y ajustar a los conjuntos físicos de elementos, pero haciendo que las normas y operaciones matemáticas sigan una línea de respeto y ajuste real y práctico de todas las circunstancia de los conjuntos y sus elementos.
Por tanto a seguir matemáticamente a los conjuntos en sus caracteres, uniones, interrelaciones, transformaciones, composiciones, etc., sin perder de vista ninguna de estas peculiaridades de los conjuntos.
En el mismo sentido, esta teoría estudia y teoriza sobre las diferentes circunstancias, transformaciones, interrelaciones, propiedades, etc., de los conjuntos con objeto de conseguir un completo estudio de los conjuntos de elementos.

Elementos particulares y elementos compartidos o de intersección.

[*] Una cuestión muy importante en esta teoría y que difiera claramente de la actual, es que:
En principio todos los conjuntos tienen diferentes elementos aunque éstos elementos puedan tener la misma apariencia.
Es decir, nos sujetamos a la física de los elementos y no a su simple apariencia.

Teoría actual de conjuntos.-

En este sentido entiendo que un error básico en la teoría actual es presuponer que solo existe un solo elemento de cada tipo en el Universo (un solo 1, un solo 2, una sola a, una sola b, una sola manzana, una sola pera, etc. etc.).
A diferencia mi teoría acepta que pueden existir infinitos elementos iguales en el Universo, (infinitos 1, infinitos 2, infinitas a, infinitas b, infinitas manzanas, infinitas peras, etc. etc.).
Por tanto establece como principio que todos los conjuntos tienen diferentes elementos (aunque parezcan iguales) a menos que se exprese claramente que existen elementos de intersección en dichos conjuntos, es decir, elementos que pertenecen al mismo tiempo a un conjunto y a otro.

Ejemplos de ello sería:
--Que con su premisa la teoría actual nos diría que si tenemos una caja A con 1700 euros y otra caja B también con 1700, si las unimos, el nuevo conjunto AuB seguiría teniendo 1700 euros, pues confunde la realidad física con la apariencia de los elementos.

A (1700 euros) unida a B (1700 euros) = AuB (1700 euros)

--Si tenemos una bolsa A con una pera y una manzana A (pera, manzana) y otra bolsa B con otra pera y otra manzana B (pera, manzana) su unión nos daría un conjunto AuB con solo una pera y una manzana.

A(pera, manzana) u B( pera, manzana) = AuB (pera, manzana)

Como vemos la teoría actual no es operativa.

Mi teoría nos dará que:

A + B (pera, pera, manzana, manzana) o A + B (2pera, 2manzana)

Así que mi teoría propone pequeños cambios de principios para conseguir operar adecuadamente con los conjuntos como vemos más adelante.

Por ejemplo:
Dados dos conjuntos A (a,b,c,d,e,) y B (a,d,h,j,k) nosotros podemos observar como hay elementos que parecen iguales (a,d,) pero que no son el mismo físicamente, sino otros semejantes.
Así pues la suma o unión de estos dos conjuntos A y B sería:
AuB (a,b,c,d,e,a,d,h,j,k)
--No obstante, si algún elemento es un elementos de intersección o sea, que pertenece a los dos conjuntos a la vez, entonces físicamente es el mismo elemento y en este caso habría que expresarlo y señalarlo para que no pueda ser utilizado como dos elementos distintos en las operaciones.
Para expresarlo basta con subrayar dichos elementos (a,b,c,d )
(p.e. Sean dos conjuntos de intersección A (a,c,d,h,k,1,2) y B (a,c,d,h,l,j,1,2,) donde los elementos (c,d) son los mismos elementos que pertenecen a los dos conjuntos.
En este caso la unión o suma de A y B sería AuB (a,c,d,h,k,1,2,a,h,l,j,1,2).

** Este tipo de consideración es tomado para que sea posible un adecuado y real método en las operaciones con conjuntos.

Comparación de Conjuntos

Cuando acercamos y comparamos dos o más conjuntos, podemos observar distintos grados de semejanza entre ellos.
Estos grados de semejanza podemos identificarlos mediante el uso de distintos niveles de similitud a los cuales podríamos calificar como:

---- IDÉNTICOS
---- IGUALES
---- HOMOGÉNEOS
---- HETEROGÉNEOS
---- CONVERGENTES

---- IDÉNTICOS

Serían conjuntos idénticos entre ellos, aquellos que cumplieran dos exigencias:
1.- Tener los mismos elementos.
"Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro idéntico en B y todo elemento de B tiene otro idéntico en A".
2.- Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesión, ordenación y cualquier norma de agrupamiento se da en ambos conjuntos al mismo nivel.
Por tanto han de ser dos conjuntos indistinguibles uno del otro.

Para representar dos conjuntos idénticos podemos usar el signo ><

Así, A >< B nos dice que el conjunto A es idéntico al conjunto B y veceversa.

Como ejemplos podemos poner:
-Un conjunto en relación como podría ser una caja A de botellas de wisky y junto a ella otro B en iguales condiciones y marca.
-O un conjunto de fusión como podría ser una automóvil recién salido de fábrica, y junto a él otro de igual modelo y características.

Llegados a este punto, podríamos establecer un concepto de cierta importancia en los conjuntos cual sería su IDENTIDAD.

La IDENTIDAD sería según hemos visto la totalidad de características y particularidades de un conjunto, incluidos sus elementos, convergencia, etc., es decir todo aquello que lo hacen específico y diferente de otros.

---- IGUALES

En los conjuntos iguales entre ellos basta con tener los mismos elementos. Por tanto de cumplir solo la norma o exigencia primera de los conjuntos idénticos, a saber:
"Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro idéntico en B y todo elemento de B tiene otro idéntico en A".
En este caso por tanto, los conjuntos comparados se pueden distinguir por el modo de agruparse u ordenarse los elementos, pero no por los elementos en sí que serán los mismos en unos grupos que en otros.

Como ejemplo podemos poner:
-El ejemplo de la caja de botellas de wisky, comparar la caja A de botellas con otra caja B con las botellas ya sacadas y desordenadas.
-O la comparación de dos sucesiones numéricas (1, 2, 3, 4, 5) y (5, 4, 3, 2, 1).

---- HOMOGÉNEOS

Serán conjuntos homogéneos entre ellos con solo que sus elementos pertenezcan a un mismo género, tipo, carácter, etc.
Por tanto aquí no es necesario que sean ni siquiera iguales, ni que se cumpla la premisa A de los conjuntos idénticos.
Solo que contengan un carácter semejante que les identifique dentro de un mismo género de elementos.

En este caso podríamos poner como ejemplos:
-Un conjunto formado por algunos números (3, 5, 8, 9) junto a otros de números no iguales ( 3, 6, 9 )
-O un cesto de huevos de gallina, junto a un cesto de huevos de pato. Serían homogéneos con relación al carácter o término “huevo”.

---- HETEROGÉNEOS

Serán heterogéneos comparativamente los conjuntos cuyos elementos no guarden ningún tipo de semejanza física ni organizativa que pudiera hacerlos semejantes en cualquier modalidad.
Cuando se comparan conjuntos heterogéneos con otros que no sean (idéntico- heterogéneo; igual-heterogéneo; homogéneo-heterogéneo) la comparación también resulta ser heterogénea.

En este caso extremo podríamos poner como ejemplo:
A un conjunto formado por una gallina, una maceta y un mechero, comparándolo con otro conjunto formado por un lápiz, un sombrero y una maleta.
En el sentido, podemos poner como ejemplo a la comparación de la caja de wisky pero en este caso con un conjunto formado por una naranja, una piedra y un cenicero. El resultado será una comparación heterogénea.

---- CONVERGENTES

Serán conjuntos convergentes, aquellos que sin ser idénticos por tener diferentes elementos constitutivos, sí guardan el mismo ordenamiento y organización.

Como ejemplo de ello, podemos poner como conjunto A un desfile de soldados circulando por una avenida, y como conjunto B una escuadrilla de aviones sobrevolándolos en el mismo sentido y con la misma finalidad.

Operaciones con Conjuntos

En las operaciones de conjuntos, este estudio difiere en varios puntos de lo aceptado actualmente por entender que no se corresponde con la realidad, que existen contradicciones, que no son aceptables desde un punto de vista lógico o que no son operativos en conjuntos reales.
Sí está de acuerdo y no se revisaran las consideraciones actuales de intercepción de conjuntos, conjuntos complementarios, etc.
Por lo tanto, aquí vemos las operaciones tal cual la entiende esta teoría de conjuntos.

SUMA DE CONJUNTOS

Dos o más conjuntos pueden sumarse mediante la reunión de todos sus elementos en un solo conjunto, con las dos condiciones siguientes:

1.- Como hemos visto, la primera condición de la suma es que en el nuevo superconjunto formado estarán todos los elementos de los conjuntos constituyentes.
*** Los elementos comunes debido a las interseeciones de dos o más conjuntos de la suma se atenderá a su realidad física y solo se sumarán una vez.

2.- La segunda condición es que también sean conservadas en la suma o superconjunto resultante las peculiaridades de convergencia o identidad que cada uno de los conjuntos sumandos tuviera.

En este caso y cuando que sea posible y exista la misma convergencia o identidad entre los conjuntos sumados, se podrán unificar todos los elementos reunidos y ordenados mediante dicha convergencia. (p.e. Sea un conjunto A o sucesión (6,7,8,9) y conjunto B o sucesión (1,2,3,4,5,) éstos se pueden sumar formando una sola sucesión A + B (1,2,3,4,5,6,7,8,9).

Ejemplo para la comprensión de estas dos condiciones de la suma:
---- Si tenemos un conjunto A formado por varios números sin ordenar ( 6 7 3 1 4 7 ) y lo sumamos a un conjunto B formado también por número sin ordenar ( 5 9 2 1 4 ) el superconjunto resultante contendrá todos y cada uno de los elementos o número antes mencionados, también sin ordenar. p. e. A+B( 7 7 1 3 2 9 1 4 4 5 6 )** o cualquier otro que contenga todos los elementos de los sumandos.
** Aquí vemos que existen dos 7, dos 1 y dos 4 en el cojunto suma A + B porque se entiende que no son elementos compartidos o de intercepción entre los conjuntos A y B, sino números propios de cada uno.
---- Si tenemos un conjunto A ( 23-14=9 ) constituido por los elementos de una operación matemática y los sumamos a un conjunto B ( 33x2=66 ) también formado por una operación matemática, el superconjunto resultante A + B (23-14=9 33x2=66 ) tendrá que contener todos los elementos de los dos conjuntos y al mismo tiempo conservar su identidad o convergencia.
---- Si sumamos un conjunto A ( caja botellas wisky ) a un conjunto B ( tres naranjas sueltas ), en el superconjunto suma A + B la caja de wisky quedará intacta y las naranjas podrán colocarse en cualquier posición dentro de este superconjunto puesto que antes tampoco tenían ninguna ordenación.
No obstante si las naranjas estaban ordenadas dentro de una bolsa, también quedarán ordenas en su bolsa en el nuevo superconjunto.

RESTA DE CONJUNTOS

Principio de la resta:

“A todo conjunto A, podemos restarle o extraerle uno o varios subconjuntos (B,C,D) o elementos (a,b,c) del mismo .
O todos sus elementos convirtiéndose en este caso en conjunto vacío”.

Por tanto aquí hay que establecer claramente la distinción entre los subconjuntos (B,C,D,E,F, etc.) todos ellos pertenecientes al conjunto principal A del cual se restan, de otros conjuntos diferentes B,C,D etc. que no pertenezcan al conjunto A y que por tanto no pueden ser restados.
"No se pueden restar los elementos que tiene otro conjunto, sino los propios del conjunto que se somete a la resta"
Sería pues la siguiente expresión:

A – B donde B sería siempre un subconjunto perteneciente a A.

Y cuando haya varios subconjuntos a restar podemos poner:

A – ( B + C + D + E …)

Por tanto el principio de las resta debe cumplirse de tal forma que el conjunto A tenga como componentes a los subconjuntos a restar B, C, D, E.
Y lo expresaremos así:

A (B, C, D, E ) Conjunto A contiene a los subconjuntos (B, C, D, E ) que pueden ser restados.

Para que la resta sea pura y no represente una composición, se deben respetar también la exigencia de la conservación de la convergencia en los conjuntos resultantes de esta resta.

(p.e. --Si tenemos un conjunto A (compuesto por dos peras y tres manzanas) podemos restarle el subconjunto B (formado por las dos peras).
Pero no podemos restarle dos peras pertenecientes a otro conjunto B.

A (2 peras y 3 manzanas) – B ( 2 peras) = A – B (3 manzanas)

--Si tenemos un conjunto A (2,4,6,8,0) podemos restarle su B (8,0) y quedará un conjunto A – B (2,4,6).

A (2,4,6,8,0) – B (8,0) = A – B (2,4,6)

De esta forma, cualquier resta tienen que cumplir la propiedad de total interseccion entre todos los elementos de sus parametros, es decir:

minuendo = sustraendo + diferencia, donde

---Todo elemento del sustraendo y diferencia estaban en el minuendo.
---Todos los elementos del minuendo estaran en el sustraendo O diferencia.
---Ningun elemento del sustraendo esta en la diferencia.
---Ningun elemento de la diferencia esta en el sustraendo.

A (2,4,6,8,0) -- B (8,0) = A -- B (2,4,6)

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PRODUCTO DE UN COJUNTO POR UN NÚMERO O FUNCIÓN NUMÉRICA

El producto de un conjunto por un número o función numérica consistirá en otro conjunto formado por el producto de cada uno de los elementos del conjunto primario (o multiplicando) por el número o función multiplicadora.
(p.e. Sea un conjunto A (a,b,c,d,) que es multiplicado por el número 3. El conjunto real resultante 3xA será (a,a,a,b,b,b,c,c,c,d,d,d,). No obstante está permitido, tanto para número como para funciones, representarlo en forma de síntesis matemática del producto y ponerlo extractado en la forma (3a,3b,3c,3d).
De igual manera que para la suma, para el producto de un conjunto por un número, es necesario que se mantenga la identidad o convergencia en el resultado.
(p.e. Sea el conjunto A (a,b,c,coco,%) al cual lo multiplicamos por el número 2. El resultado real sería 2xA (a,a,b,b,c,c,coco,coco,%%) o su representación matemática (2a,2b,2c,2coco,2%).
Cuando es una función matemática y mientras no tengamos el resultado de dicha función, el conjunto resultante habrá que expresarlo únicamente en representación matemática. Después cuando tengamos el resultado de la función, pues podemos hacer ya una representación real del conjunto resultante.
(p.e. Sea un conjunto A (a,b,c,coco) multiplicado por una función y=2x. En este caso tendríamos que representar matemáticamente al conjunto resultante como Axy (ya,yb,yc,ycoco) o como Ax2x (2xa,2xb,2xc,2xcoco), pero no podremos exponer todos su elementos reales hasta que no conozcamos la solución de la función.
En el caso de la multiplicación de conjuntos por números o funciones, y cuando sea posible, es recomendable seguir las normas de identidad o convergencia que tenía el conjunto multiplicado, del tal modo que podamos estructurar en una solo conjunto organizado todos sus elementos.
(p.e. Sea un conjunto A formado por 12 malecones colocados ordenadamente en su sitio al borde de una carretera. Si multiplicamos este conjunto por el número 3, nos daría un conjunto 3xA formado por 36 malecones situados ordenadamente al bode de la carretera.)

Las operaciones con conjuntos pueden ser muy útiles y usadas en la práctica.
Como ejemplo de estas operaciones podríamos poner el siguiente:
Si en la milicia por ejemplo queremos formar un batallón para llevar a cabo una misión específica y deseamos que conste de seis compañías perfectamente equipadas para la misión a emprender, pues procederíamos a escoger y estudiar una compañía tipo según la necesidades, y seguidamente adiestrar o prepararlas para después unirlas y formar el batallón.
En este caso podríamos ponerlo como un producto de un conjunto tipo A (compañía) multiplicarlo por un número (6) y sumarle otro conjunto de mandos B (coronel, 2 comandantes).
Nos quedaría pues:

A (compañía) x 6 + B (coronel, 2comandantes) = batallón C (coronel, 2comandantes, 6 compañías).

También podemos desglosarlo más incluyendo, saldados, mandos intermedios, etc. Incluso armamento y utensilios si queremos incluirlos.
Todo ello mediante estos procedimientos de sumas y productos, es decir, utilizando medios matemáticos normales, pero por medio de agrupaciones de sus elementos en conjuntos en los cuales podemos conservar sus características y peculiaridades asociativas.

Producto de conjuntos de elementos.

Producto algebraico de conjuntos

Esta teoría de conjuntos físicos y matemáticos entiende que si queremos considerar los productos de conjuntos de elementos entre si debemos acercarnos los mas posible a los principios y propiedades de la multiplicación de números, y al mismo tiempo al respeto a las propiedades de los elementos de cada conjunto.
Por ello comenzare con alguna definición y exposición de los principales parámetros estructurales del producto algebraico entre conjuntos.

El producto algebraico de conjuntos consiste en multiplicación de los mismos siguiendo los métodos algebraicos comunes.

Al estar los conjuntos formados por elementos de cualquier tipo y entidad, nosotros consideraremos dos tipos de componentes de los factores a multiplicar:

-- Los elementos propiamente dichos, que como hemos dicho pueden ser de cualquier tipo y entidad.
(Por ejemplo: un lápiz, un árbol, un animal, un signo, un símbolo, una idea, un sentimiento, etc.)

-- Y los coeficientes multiplicadores o cantidad de estos elementos anteriores que pueda contener cada uno de los factores a multiplicar.
(Por ejemplo: 25 conejos; siendo 25 el coeficiente multiplicador de los elementos del conjunto o conejos)

Pues bien, como veremos mas adelante en el producto algebraico de conjuntos los coeficientes o cantidades se multiplican entre ellos y los elementos se integran (fusionan) entre si.

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Pero comencemos por revisar la forma algebraica de los productos de conjuntos. Así si tomamos dos conjuntos de incógnitas A( a, b) y B (x, y) y queremos multiplicarlos debemos hacerlo como si de números se tratara:

A x B = (a, b) x (x, y) = AB (ya, yb, xa, xb)

Y después a este resultado podemos a su vez multiplicarlo por otro conjunto C ( d, e )

AB (ya, yb, xa, xb) x C (d, e) = ABC (eya, eyb, exa, exb, dya, dyb, dxa, dxb)

Como vemos el producto de conjuntos de elementos lleva consigo la INTEGRACION de los factores multiplicadores de cada acto operativo en un solo elemento que llamaremos FACTOR INTEGRADO.
En el ejemplo anterior, cuando multiplicamos y . a el factor integrado será el resultado yx.

Ahora bien, cualquiera de estas incógnitas puede ser sustituida por un número o por un elemento.
Si es por un numero, las operaciones son las ya conocidas en matemáticas:

A x B = (6, 4) x (3, 2) = AB (2x6, 2x4, 3x6, 3x4, = AB (12, 8, 18, 12)

Pero si son elementos físicos los factores de la multiplicación, entonces los elementos resultantes de la INTEGRACION de cada acto operativo estarán formados por la unión física de los elementos en un solo elemento compuesto o factor integrado.
Por ejemplo:

A x B = (@, &) x (#, %) = AB (%@, %&, #@, #&)

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Coeficientes y elementos

En la multiplicación de conjuntos de elementos debemos distinguir entre los elementos propiamente dichos y los factores multiplicadores de estos elementos.
En un conjunto A ( 5 conejos, 4 botellas ) puede haber elementos físicos que lo compongan (conejos y botellas) y coeficientes que expresen la cantidad de estos elementos ( 5 y 4 ).
Pues bien, los coeficientes siempre multiplican tanto a sus elementos como a los elementos del otro factor en cada acto operativo.
Por ejemplo:

A ( 5 conejos, 4 botellas ) y B ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes ) = AB( 10 caja-conejo, 8 caja-botella, 15 estante-conejo, 12 estante-botella )

Lo cual quiere decir que abr:
-- 15 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo con estante.
-- 12 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un estante con botella.
-- 10 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo en su caja.
-- 8 Factores integrados (o subconjuntos) formados por una caja con botella.

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Numero de sub-conjuntos resultantes.

Como vemos en los ejemplos, el numero de subconjuntos o factores integrados resultantes de una multiplicación de conjuntos de elementos es igual al producto del numero total de elementos de cada conjunto multiplicador.

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 + 4 = 9 ) x ( 2 + 3 = 5)

A x B = 5 x 9 = 45 subconjuntos o elementos compuestos.

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Elemento múltiple: ( x e )

A veces necesitaremos tomar conjuntos de elementos y operar con el como si fuera uno solo con el fin de obtener un resultado mas apropiado para nosotros.
Por ejemplo, si queremos clavar cinco clavos en una madera, no podemos multiplicar la madera por los cinco claves como elementos separados, pues nos daría cinco madera con un clavo cada una.

A ( Madera ) x B ( 5 clavos ) = Madera x 5 calvos = 5 maderas-clavo

Por ello para convertimos los cinco clavos que son cinco elementos en un solo elementos de cinco clavos:

B ( (5 clavos) )

Y de esta manera multiplicamos el elemento madera por el elemento (5 clavos)

A (madera ) x B ( (5 clavos) ) = AB ( madera-5 clavos )

Veamos los dibujos.

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Con el segundo dibujo vemos que el producto de conjuntos puede darnos como resultado a conjuntos o subconjuntos de distinto Tipo, resultando a veces conjuntos Difusos en los cuales sus elementos no guarden ninguna relación entre ellos, o como en este dibujo anterior, en el cual el conjunto resultante puede ser un conjunto en relación, es decir, que sus elementos tengan convergencia entre ellos.

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Adición o clonación de elementos en la multiplicación algebraica.

En las operaciones de suma, resta y división, los elementos resultantes de estas operaciones ya estaban en los factores primarios de dichas operaciones, pero en la multiplicación algebraica se produce una adición de elementos que no estaban en estos factores operativos primarios.
Si lo elementos son comunes, (por ejemplo lápices, conejos, cuadrados, rosas, etc.) basta con buscar e introducir nuevos elementos para completar el producto resultante.
No obstante, si lo que deseamos es multiplicar a un elemento determinado, (p.e, 3 x Don Quijote = 3 Don Quijotes) entonces a los teóricos elementos añadidos le denominares como elementos Clonados.

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Intersección de elementos entre factores y producto.

En el producto algebraico de conjuntos, al tener que introducir nuevos elementos del exterior para conseguir completar el producto de la multiplicación, puede llevarnos en ciertos casos a necesitar saber cuáles son los elementos que ya estaban en los factores a multiplicar y cuáles son los que hemos introducido en el producto.
Para ello utilizamos el método de intersección de esta teoría, es decir, subrayar los elementos que están tanto en los factores como en el producto, tal cual vemos en el dibujo.

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Recordemos la intersección de elementos en esta teoría:

Dados dos conjuntos A (a, b, c,) y B (c, d, e) llamamos elementos de intersección a los que pertenecen a los dos conjuntos.
Los elementos de intersección se expresan subrayándolos:
Sean dos conjuntos A (a, b, c) y B (c , d, e) donde c es el elementos de intersección que pertenece a ambos conjuntos.

Propiedad conmutativa en el producto algebraico de conjuntos.

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De momento consideraremos que el producto algebraico de conjuntos tiene la propiedad conmutativa y que tanto el orden de situación de los elementos dentro del conjunto como el orden de los elementos dentro de los factores integrados siguen esta propiedad.

A (a,b,) = A’(b,a) ; ab = ba

Principio de Ubicuidad

Como he expuesto varias veces, esta teoría sobre los elementos físicos trata de llevar las matemáticas de conjuntos a la realidad de los elementos físicos y por tanto las operaciones matemáticas han de sujetarse a las características de estos elementos.
Pues bien, una de estas características es la que un elemento físico no puede estar en dos lugares distintos a la vez.
Por tanto tomaremos esta definición para el Principio de Ubicuidad:

“Ningún elemento físico puede estar en dos o más lugares al mismo tiempo.”

Y de esta consecuencia podemos considerar los siguientes puntos:

1.-
Ningún elemento físico puede estar repetido dentro de un mismo conjunto.
Si puede pertenecer a dos o más conjuntos distintos.
Si estuviera representado dos o más veces dentro de un conjunto debemos considerarlo como un solo elemento a la hora de operar con él.

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2.-
En el producto algebraico entre distintos conjuntos donde existe uno o más elementos de intersección, dichos elementos no podrán operar sobre sí mismos, y por tanto serán tenidos en cuenta solo una vez preferentemente en el primer factor o multiplicando.

A (a,b,c) x B (c,d,e) = A (a,b,c) x B (d,e)

Ello es consecuencia a que un elemento físico no puede fusionarse con sí mismo y por tanto no puede multiplicarse tampoco por sí mismo.

En el caso del cuadrado (cubo… N) de un conjunto, el producto resultante será el la fusión de sus elementos.

A (a,b,c,) x A (a,b,c) = A2 (abc)

3.-
A.- El principio de Ubicuidad no afecta a cantidades numéricas puesto que no son elementos físicos.

A ( 2, 5 ) x B ( 3, 5 ) = AxB ( 10, 25, 6, 15 )

B.- Sí afecta a los coeficientes puesto que si eliminamos los elementos de un conjunto eliminamos también el coeficiente multiplicador.

A (2U, 3H ) x B (2U, 2K ) = A ( 2U, 3H ) x B ( 2K )

Pues debemos eliminar los elementos 2U del multiplicador. ( 2 )

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Teoría y realidad operativa.

Es lógico que todos los sistemas matemáticos tengan como última finalidad su utilidad y uso práctico, si no fuera así las matemáticas apenas tendrían sentido.
Y en el caso de los conjuntos con más razón todavía, puesto que entendemos que los elementos de los conjuntos tienen su consistencia y realidad física con la cual hay que contar para operar con ellos.
Pues bien, al vernos mediatizados por la realidad física de los elementos de los conjuntos, tenemos como consecuencia que muchas veces podremos realizar operaciones prácticas con ellos pero otras veces nos tendremos que conformar con hacerlo solo teóricamente, pues los elementos de estos conjuntos no se dejarán manejar siempre a nuestro gusto.
Por ejemplo, si tenemos en una estantería A varios grupos de botellas A (5 whisky, 3 vodka, 4 ginebra) nosotros podemos perfectamente multiplicar los elementos de esta estantería por un número determinado (p.e. 3) yendo al almacén y rellenado la estantería hasta conseguir hacer realidad al producto de la multiplicación, 3 x A (15 whisky, 9 vodka, 12 ginebra).
Pero si lo que deseamos es multiplicar el conjunto A (ríos de España) por un número (3) entonces no será posible hacerlo y solo podemos teorizar y elucubrar con ello.
Sin embargo también las matemáticas tienen esta ventaja, la de teorizar e inventarnos operaciones que nos sirvan para comprender las cosas, aunque no podamos llevarlas a la práctica de los elementos.
Por supuesto, lo que sí se le exige a las reglas matemáticas es la consistencia, orden, congruencia, lógica, y sobre todo concordancia y ausencia absoluta de contradicciones entre sus reglas y fundamentos.

DIVISIÓN DE UN CONJUNTO POR UN NÚMERO.

Un conjunto A puede dividirse por un número x, (o función) dándonos diferentes resultados según las exigencias que pongamos a dicha división.
No obstante aquí se observará dos tipos de divisiones solamente, que creo son las más importantes, y que serían:

--DIVISIÓN INDETERMINADA
--DIVISIÓN DETERMINADA.

----DIVISIÓN INDETERMINADA

Para llevar a cabo una división indeterminada de un conjunto A por un número x, la única exigencia es que el número de elementos o subconjuntos de A sea múltiplo de x.
(p.e. si tenemos un conjunto A (a,b,8,e,9,?,=,X,b), observamos que este conjunto A tiene 9 elementos.
Por tanto es posible dividirlo por ejemplo, por el número 3. Y se podría representar como:

A (a,b,8,e,9,?,=,X,b) : 3

En este caso el resultado sería tres conjuntos nuevos B, C y D que tendrían cada uno tres elementos de A.
Pero la indeterminación estaría en que habría muchas soluciones para cada unos de estos conjuntos cociente, puesto que solo se le exige que tengan 3 elementos, pero da igual cual sean éstos. Por tanto habrá muchas combinaciones.
Por ejemplo.
B (a,b,8) C (e,9,?) D (=,X,b)
B (b,b,a) C (8,e,X) D (=,9,?)
Etc.

----DIVISIÓN DETERMINADA

En cambio para la división determinada habrá muchas más exigencias, pero dará resultados matemáticos más completos también.
En la división determinada se exige que en el conjunto A (que va ser dividido por un número x), se puedan establecer subconjuntos de elementos idénticos y cuyo número cardinal en todos estos subconjuntos sea divisible por x.
(p.e. Sea un conjunto A (c,c,a,a,b,b,c,c,a,b,c,c,b,c,c,b,c,b) que podemos representar matemáticamente como A (3a,6b,9c) y al cual deseamos dividirlo por 3.
En este caso A (3a,6b,9c) : 3 = B (a,2b,3c), C (a,2b,3c), D (a,2b,3c)
Aquí observamos una interesante solución y es que en las divisiones determinadas los cocientes son conjuntos idénticos.

División entre conjuntos de elementos

Esta resulta ser una bonita operación y aunque los métodos y procedimientos de operar son los mismos, en este caso se dan particularidades muy interesantes.
La primera particularidad es que al ser una división de elementos de un conjunto entre los elementos de otro, pues la operación adquiere carácter de REPARTO ya que existen unos elementos A (dividendo) a repartir y unos elementos B (divisor) que los reciben.
Este carácter de reparto nos da la segunda singularidad y es que en los conjuntos resultantes no solo están los elementos A repartidos sino los elementos B entre los que se reparten.
Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:

-----Sea un conjunto A formado por 12 zanahorias A (12 zanahorias) y un conjunto B formado por 3 conejos B (3 conejos).
Si procedemos a la división (reparto) de las zanahorias entre los conejos tendremos que a cada conejo le damos 4 zanahorias.
Por tanto en el cociente de esta división estaría cada conejo junto a sus cuatro zanahorias.

A (12 zanahorias) : B (3 conejos) = C ( conejo| 4 zanahorias ), D ( conejo| 4 zanahorias ), E ( conejo| 4 zanahorias )

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Por tanto, en las divisiones entre conjuntos, los conjuntos resultantes contienen tanto a los elementos del divisor como a los elementos del dividendo.

Como las divisiones entre elementos o conjuntos de elementos tienen carácter especial, pues quizás sería bueno proponer nombres propios para los parámetros de estas divisiones.
Así que en principio propondría los de Dividendo, Receptor y Reparto.
-- Receptor porque los elementos del divisor tienen carácter distintivo y facultad de recibir dividendos.
-- Reparto porque en estas divisiones el cociente tiene este carácter de reparto.

En las divisiones entre conjuntos también vamos a considerar solo los tipos:

INDETERMINADA y DETERMINADA

Como ya hemos explicado en las divisiones por números, como eran estos procedimientos, ahora solo vemos algunos ejemplos para entender como se procede entre conjuntos.

Ejemplo de INDETERMINADA:

Sea un conjunto A (4, 7, 9, 0, 0, $) dividido entre un conjunto B (a,b,c,).
Vemos que esta división solo puede ser indeterminada pues solo existe la posibilidad de dividir los SEIS elementos de A entre los TRES elementos de B.
Pero esto, como vimos en las divisiones por números, nos puede dar muchas soluciones.

A ( 4, 7, 9, 0, 0, $ ) : B ( a,b,c,) =

C ( a, 0,0 ), D ( b,4,7 ), E ( c,9,$ ) o
C ( a, 0,4 ), D ( b,0,$ ), E ( c,9,7 ) Etc.

Ejemplo de DETERMINADA:

--Sea un conjunto A (2,4,6,8,8,6,4,2,4,6,8,2) y queremos dividirlo por un conjunto B ( a, b, c,).
En este caso si se ve que se puede hacer una división DETERMINADA puesto que en el conjunto A podemos reagrupar sus elementos en subconjuntos de elementos idénticos 3x (2,4,6,8) y divisibles por el número cardinal del conjunto B ( 3 ) al haber en A tres subconjuntos de elementos idénticos y en B tres elementos también.
Así que podemos proceder a la división y tendríamos:

A (2,4,6,8,8,6,4,2,4,6,8,2) : B ( a, b, c,) = C ( a, 2,4,6,8), D ( b, 2,4,6,8), E ( c, 2,4,6,8).

No obstante en la división de conjuntos no tenemos como resultado siempre a conjuntos idénticos pues los elementos del divisor puede que no sean iguales, es este anterior caso (a,b,c).

Exponenciales y raíces

Exponenciales

La filosofía de esta teoría es la de respetar la integridad y peculiaridades de los conjuntos y sus elementos cuando operamos con ellos.
Por eso no siempre podemos aplicar todo el potencial operativo de las matemáticas ya que en muchos casos destruiríamos la identidad de los propios conjuntos, teniendo además en cuenta que los conjuntos constan de elementos físicos y que por lo tanto su campo de aplicación es el de los números naturales.
Es más, al integrarse estos conceptos naturales dentro de conjuntos bien definidos, pues su operatividad es aún más limitada.
Y es el caso de los exponenciales y raíces en los conjuntos.
Si por ejemplo tenemos un conjunto A formado por dos peras A (2 peras) parece claro que no podríamos proceder a una exponenciación completa del conjunto A 2 ya que no podemos multiplicar peras por peras.
En este caso nos tenemos que conformar con exponenciar “a medias” es decir, solo al factor numérico del conjunto (2) y dejar los caracteres de los elementos para aplicarlos como caracteres resultantes.
En este caso podríamos aceptar una exponencial similar a ésta:

[ A (2 peras) ] 2 = B ( 2 2 peras ) = B ( 4 peras)

Como vemos se exponencial el factor numérico y se respeta la clase de elementos. Como ejemplo de conjunto exponencial podríamos poner:

[ A (3 coches, 4 motos, 2 remolques) ] 2 = B (3 2 coches, 4 2 motos, 2 2 remolques ) = B ( 9 coches, 16 motos, 4 remolques)

Raíces

Las raíces son aún más difíciles de conseguir en los conjuntos, puesto que en lógica se les exigirá que todos y cada unos de los subconjuntos de identidad existentes tengan exactas la raíz requerida.
En este caso tendría raíz cuadrada el siguiente conjunto:

Raíz cuadrada de A (25 quesos, 16 jamones, 36 cervezas)

Porque la raíz cuadrada de cada uno de sus subconjuntos de identidad (quesos, jamones, cervezas) tiene exacta su raíz cuadrada. Por tanto sería:

Raíz 2 de A (25 quesos, 16 jamones, 36 cervezas) = B (5 quesos, 4 jamones, 6 cervezas).

Conjuntos de funciones multiples fm

Una posibilidad muy común que puede dársenos es que tengamos un conjunto de elementos y subconjuntos al cual queramos someter a distintas operaciones según el elemento o subconjunto de que se trate.
Para este caso están diseñados los conjuntos de funciones múltiples que se pueden aplicar a otro conjunto cualquiera y aplicar diferentes operaciones a los distintos elementos y subconjuntos del mismo.
Así un conjunto de funciones múltiples es un conjunto fm en el cual se detallan las operaciones a que deseamos someter a los elementos o subconjuntos que deseemos del conjunto a que le se aplica.
Por supuesto, aquellos subconjuntos que deseemos permanezcan igual, pues con no incluirlos en el conjunto de funciones múltiples es suficiente.
Como siempre, vemos un ejemplo para comprender todos estos detalles.
Sea un conjunto A consistente en un almacén de botellas de bebidas y que estaría compuesto por:

A (30cajas whisky, 150cajas cola, 12cajas vodka, 200cajas ron, 5cajas ginebra, 3600cajas cerveza, 76caja vino).

Pues bien, después de varios meses de ventas hemos visto que tenemos que reestructurar el almacén y para ellos hemos hecho un estudio del cambio el cual hemos resumido en un conjunto fm de operaciones que vamos a aplicar ( # aplicar ) al conjunto A o almacén.
Este conjunto múltiple de funciones a aplicar sería:

fm ( whishy + 30, cola – 80, vodka x 6, ron / 4, ginebra 2 , cervezas -2), el vino está correcto.

Por tanto la expresión total de la operación sería:

A (30 whisky, 150 cola, 12 vodka, 200 ron, 5 ginebra, 3600 cerveza, 76 vino) # fm ( whishy + 30, cola – 80, vodka x 6, ron / 4, ginebra 2 , cervezas -2 ) = B ( 60 whisky, 70 cola, 72 vodka, 50 ron, 25 ginebra, 60 cervezas, 76 vino)

Vemos aquí que la raíz cuadrada la ponemos como -2 (cervezas-2) pero se puede optar por cualquier sistemas de signos.

Conjuntos complejos Ac

Los conjuntos complejos en cuanto a su clase y determinación de su sus elementos componentes serán aquellos en los que exista cierta dificultad para exponerlos y explicar su identidad con solo los signos convencionales, es decir, que necesita una más amplia exposición de sus peculiaridades que la que se puede hacer dentro de los paréntesis en los que se exponen los elementos de un conjunto A cualquiera.
Por ejemplo:
Si tenemos un conjunto A compuesto por:
-- Manzanas vedes que pesen entre 100 y 120 gramos, de color rosado y sin semillas.
-- Tomates maduros, pequeños, alargados y jugosos.
-- Pepinos amarillos, largos, sin semillas y de tamaño mediano.
Pues sería un tanto dificultoso expresarlos adecuadamente dentro de los paréntesis de ese conjunto A.
En este caso se podría señalar a A como a un conjunto de clase compleja (Ac) y datar a los distintos tipos de elementos con números o letras y operar con estos.
Después aparte se detallarían la clase de cada tipo de elemento del conjunto.

Ac ( a, b, c, )

a .- Manzanas vedes que pesan entre 100 y 120 gramos, de color rosado y sin semillas.
b.- Tomates maduros, pequeños, alargados y jugosos.
c.- Pimientos rojos, largos, con semillas y de tamaño mediano.

Es similar procedimiento que se usa en álgebra cuando sustituimos valores numéricos por letras. En este caso, podríamos operar con ellos matemáticamente y después estudiar los elementos reales que lleva el conjunto.

Ac ( a, b, c, ) x 4 = Bc ( 4a, 4,b, 4c )

Características de las operaciones de conjuntos.

Como hemos visto anteriormente en las operaciones de conjuntos, éstas tienen cada una sus propias peculiaridades.
Por el momento, y hasta que estudiemos las diferentes propiedades de cada operación, vamos a hacer una simple revisión de sus diferencias operativas.

Suma.
En la suma podemos operar con conjuntos de elementos de distintos tipos, así podemos sumar un conjunto ( igual ) formado por 5 manzanas con un conjunto ( igual ) formado por 8 naranjas y obtendremos un conjunto ( homogéneo -- frutas ) formado por 13 frutas.

Resta
En la resto vemos que a un conjunto cualquier solo podemos restarlo parte de sus elementos, pero no restarle números ni otros elementos que no tienen.
Así al conjunto de frutas anterior ( las trece frutas ) podemos restarle parte de ellas, por ejemplo, 4 manzanas y obtener distintos tipos de subconjuntos, que como en este caso nos queda un conjunto formado por 1 manzana y 8 naranjas.

Multiplicación
Hemos visto que podemos multiplicar conjuntos por número, pero no conjuntos entre sí. Así podemos multiplicar 6 zanahorias por el número 4 y obtener un nuevo conjunto formado por 24 zanahorias.
Pero no podemos multiplicar las 6 zanahorias por 4 peras pues no obtenemos un producto real. Tampoco podemos multiplicar las 6 zanahorias por 0, ya que cero es considerado un conjunto vacío y al mismo tiempo parece lógico que si tenemos 6 zanahorias que son reales, no podemos hacer que estas desaparezcan cuando las multiplicamos por 0.

División.
La división tiene un espectro de operación más amplio y podemos dividir tanto conjuntos por números como conjuntos por conjuntos.
Así, podemos dividir 60 euros por el número seis, y también podemos dividir 60 euros entre seis personas.
Por tanto podemos dividir cualquier elementos entre otros igual o diferente. Esto nos lleva incluso a poder dividir conjuntos vacíos entre ellos mismos y entre otro tipo de conjuntos.

No obstante, debemos mantener la propiedad de la división que toma como referencia a la unidad (1).
De esta manera si dividimos 4 por 0’01 ( 4/0’01= 400) el resultado nos dirá que es a la unidad (1) a quien corresponde 400, pero no a la fracción 0’01.

*** Las operaciones con conjuntos vacíos las vemos al final.

Composición de Conjunto y Superconjuntos

Ya hemos visto en la definición de tipos que en los conjuntos en relación y conjuntos de fusión se manifestaba una ordenación, cohesión y convergencia de los distintos elementos con lo cual se daba como resultado una estructura y composición especial en cada uno de ellos según fueran estas normas y formas de ordenamiento de sus elementos.
También hemos visto como con esta ordenación y definición de los conjuntos se podía incluso datarlos con nombre propios de cuerpos físicos o matemáticos.

Por ejemplo, en los conjuntos en relación podríamos tener: Caja de botellas; compañía de soldados; representación numérica de una suma, multiplicación, etc.; palabras y frases escritas; postes de alumbrado de una calle; figuras colocadas en un tablero de ajedrez; etc.
También en los conjuntos de fusión tales como: reloj, automóvil, perro, árbol, edificio, etc.
Pues bien tanto en unos como en otros, y para ser construidos, sus elementos han tenido que sufrir un proceso de acoplamiento o composición y una vez conseguido esta proceso de acoplamiento se ha conseguido un nuevo conjunto con sus característica propios e incluso en la mayoría de sus casos con su nombre propio que engloba y define a este conjunto. Por tanto aquí vemos que cuando unimos elementos para conseguir un conjunto o cuando unidos conjuntos para formar superconjuntos, puede que con dicha unión los conjuntos resultantes hayan adquirido nuevas propiedades y características e incluso un nombre específico como conjunto y por tanto identidad propia.
En tal caso, a esta este tipo de unión con resultados específicos es a lo que llamaremos COMPOSICIÓN, pues se entiende que, además de las propiedades de cada elemento o subconjunto, es el método y sistema de composición lo que da a los nuevos conjuntos sus propias peculiaridades.
Pues bien debido a ello, otro factor importante que nace en estos procedimientos de acoplamiento y composición es su propia calificación y definición o nombre como proceso de composición.
Así vemos en las composiciones que en muchos casos estos procedimientos también adquieren su propio verbo (nombre, etc.) descriptivo del procedimiento usado.
Así si cogemos las piezas de un reloj y las unimos para conseguir el reloj ya terminado, diremos que hemos MONTADO el reloj; si es un edificio lo que hemos conseguido uniendo sus elementos diremos que hemos CONSTRUIDO un edificio; si hemos unido dos latas de pintura para formar un nuevo color, diremos que hemos MEZCALDO dos latas de pintura; si en la tierra, la naturaleza a través de los tiempos une elementos químicos, los transforma y desarrolla y consigue al final vegetales y animales, diremos que la nuestro planeta ha EVOLUCIONADO hacia la vida; etc.

Por tanto en los procesos de composición de conjuntos distinguimos procesos y soluciones específicas para muchos de éstos conjuntos resultantes y que serían principalmente:

---Nombre propio, común o específico ---de la composición: Edificio, árbol, mar, etc.
---Nombre, verbo, etc., del procedimiento usado: Montaje, construcción, mezcla, combinación, reacción, evolución, etc.

Vemos por tanto que el estudio matemático de los conjuntos se une, explica y se corresponde con muchos términos lingüísticos y que por tanto las matemáticas son también, y paralelamente, una explicación y un lenguaje de expresión de la realidad física y natural de la cosas.

Conjuntos estáticos y conjuntos dinámicos.

Engarzando con las composiciones de conjuntos vamos a ver algún nuevo concepto de conjuntos que nos mostrará el paralelismo e igualdad entre los conjuntos matemáticos y los conjuntos de cuerpos físicos; entre las propiedades y comportamientos de unos y otros.
Si por ejemplo, y apoyándonos en la suma y composición de conjuntos, tenemos tres conjuntos: Un conjunto A formado por cinco maceteros, un conjunto B formado por un motón de tierra apropiada y un conjunto C formado por varias semillas florales, y seguidamente procedemos a sumar y componer adecuadamente cinco macetas con sus correspondiente semillas ya SEMBRADAS (nombre de procedimiento), pues vemos que hemos resulto y conseguido una suma y composición de un nuevo superconjunto formado por cinco macetas.
Ahora bien, esto podría considerarse un superconjunto ESTÁTICO resultante.
Pero si ahora dejamos pasar el tiempo y vamos observando día tras día el conjunto formado, pues podremos ver como no mucho tiempo después de esta maceta comienza a salir los brotes de las flores que producen sus semillas.
En este momento comenzaremos a percatarnos de que el conjunto que parecía completamente estático no lo es en realidad, y que con el tiempo y las particularidades de sus elementos, este conjunto se ha convertido en un conjunto DINÁMICO, es decir, que cambia por sí mismo su identidad.
Así pues, tendremos que serían:

DINÁMICOS aquellos conjuntos que van cambiando sus propias características, convergencia o identidad con el transcurso del tiempo.
Con ello y como decía antes, accedemos a las leyes y comportamientos físico de los elementos mediante el estudio de los conjuntos físicos y matemáticos.
En próximas ampliaciones también revisaremos algún concepto relativo a estos conjuntos como puede ser la velocidad de transformación de los conjuntos dinámicos.
Los ejemplos de conjuntos dinámicos, como podemos observar, son infinitos en la naturaleza:

--- Una partida de ajedrez donde las piezas cambian de posición; se intercambian entre ellas; se van restando y desapareciendo del tablero, etc.
--- Una estanque con peces donde continuamente cambian su posición, e incluso pueden comerse unos a otros.
--- Una carrera de coches.
--- Un sol con sus planetas, cometas, etc. girando a su alrededor; con los satélites girando alrededor de lo planetas.
--- Un hormiguero donde cada hormiga se mueve y hace transformar al hormiguero.
--- Un almacén donde continuamente salen y entran mercancía.
--- Los procesos climáticos donde cada elemento se mueve, cambia y hace cambiar a los demás.
--- Los bosques donde nacen, crecen y mueren miles de árboles y animales.
Etc.
Es decir, los conjuntos físicos tienen un potencial de cambio y transformación enorme.
Podemos por tanto decir que la propia naturaleza en un enorme conjunto dinámico formado por otros muchos subconjuntos también dinámicos.

Conjuntos y Caos

Explicaba en mi modelo de Cosmos, que el caos podía tener dos consideraciones diferentes, el caos objetivo o real y el caos subjetivo de cada individuo o comunidad de individuos.
El caos objetivo sería aquel que estudia la interrelación de elementos o conjuntos contemplado desde un punto de vista matemático o comparativo y el caos subjetivo sería aquel que tiene cada individuo o colectivo según sus conocimientos y circunstancias personales.
Así para un individuo que no supiera chino, un poema escrito en esta lengua pues le resultaría muy caótico e incomprensible. En cambio para un experto en este lenguaje el poema no tendría nada de caótico.
Sin embargo para un estudio lo más imparcial posible, lo conveniente es llegar a principios de aceptación del caos de un modo general y matemático que pueda ser aceptado por la mayoría de las personas. Y en este caso el caos se puede comprender o corresponder muy bien con el estudio de los conjuntos, sus peculiaridades y sus composiciones.
Así si nos fijamos en los tipos de conjuntos, vemos que el caos se situaría cerca de los conjuntos difusos , es decir, de aquellos que no tienen casi ningún tipo de cohesión o relación entre sus elementos.
Si al contrario, nos situamos a nivel de los conjuntos de fusión vemos que aquí apenas si existe al caos puesto que todos sus elementos se sitúan y guardan un orden y composición muy definida.
Por otro lado vemos como en los conjuntos caóticos la magnitud del caos también tiene una relación directa con los movimientos de los elementos que componen estos conjuntos.
Se observamos las abejas de un panal cuando hace mucho frío, vemos que éstas apenas si se mueven, y en este caso su comportamiento nos parece poco caótico.
No obstante cuando se calientan con el sol, comienzan a moverse y rápidamente y todo se convierte en un auténtico caos para nuestro punto de vista.
Así que podemos comprobar que el potencial dinámico o de movimiento y cambio de un conjunto es directamente proporcional a su potencial caótico. Más movimiento, más caos.
Al mismo tiempo recordamos que el índice de convergencia de los elementos de un conjunto es también un parámetro de medida y apreciación de su potencial caótico.
Luego podemos decir que:

“El índice de convergencia es inversamente proporcional al potencial caótico de un conjunto, mientras que su potencial dinámico (o de movimiento de sus elementos) es directamente proporcional a este potencial caótico del conjunto.”

Por tanto, el caos, su consideración y definición está estrechamente relacionada con la consideración y definición de los tipos de conjuntos.
Podríamos decir que usan parámetros y soluciones paralelas.

ALGUNAS DIFERENCIAS CON LA ACTUAL TEORÍA DE CONJUNTOS

INTERSECCIONES Y NÚMERO ILIMITADO DE ELEMENTOS IGUALES

Como dije al principio, estimo que mi teoría es complementaria y no tiene porqué intentar sustituir a la actual teoría de conjuntos.
Sin embargo hay algunos puntos que estimo son contradictorios y que quizás en este caso sean más interesantes mis puntos de vista que el de la teoría actual.
Me estoy refiriendo a la consideración y aceptación de infinitos elementos iguales que se hace en mi teoría a diferencia de la consideración de elementos únicos de cada especie como se hace en la actual.
La actual teoría y la consideración de elementos únicos tienen una consistencia más bien teórica y propia para habitar casi exclusivamente en el pensamiento de los matemáticos, pero su consistencia se derrumba cuando tratamos de llevarla a la realidad física de los elementos.
Además su ámbito es muy estrecho pues se dedica casi exclusivamente a teorizar sobre familias, agrupaciones, etc. de elementos, pero no avanza en el sentido de la interrelación, evolución, transformación, etc. que los elementos físicos reales sí tienen.
Como ejemplos simples de lo incongruente que puede ser esta teoría cuando la llevamos al ámbito físico de los elementos, pues vamos un ejemplo simple.
Después veremos, el método de intersección según mi teoría de conjuntos.
En el dibujo siguiente se ve un ejemplo de igualdad y unión de conjuntos en la teoría actual, con la cual se pueden ver las discrepancias con mi teoría:

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En este dibujo anterior se ven dos grupos A y B formados cada uno por cuatro botellines de cerveza o cola.
Según la teoría actual ( en 1 ) al ser los cuatro botellines iguales, pues el conjunto A de cuatro botellines puede ser igual al mismo conjunto A con un botellín.
Esto ocurre por no considerar la realidad física de los elementos sino su simple apariencia.
En ( 2 ) la unión de A y B nos daría otro grupo AuB formado también por cuatro botellines, por la misma razón, es decir, por confundir realidad física con apariencia física. Si parecen iguales, es que es el mismo.

En mi teoría no importan las apariencias, importa la física de los elementos.
Si hay cuatro elementos en un grupo y cuatro en otro, aunque parezcan o sean iguales son otros elementos físicos.

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En el dibujo anterior se ve que un conjunto A con cuatro botellines no puede ser igual al mismo conjunto A con un botellín.
Ahora bien (en 1) se puede representar matemáticamente el conjunto con un número que representa la cantidad de elementos iguales que hay en el conjunto y después la especificación de qué clase de elementos son. A (4 botellines).
Pero no es una representación real, sino un representación o ajuste matemático de los elementos que tienen el conjunto A con objeto de poder someterlo a distintas operaciones matemáticas más fácilmente.
Después en (2 ) vemos una suma de los conjuntos A ( 4 botellines ) + B ( 4 botellines) que nos dará un resultado A + B ( 8 botellines) que es la suma real de los elementos de A y de B.

Intersecciones

En cuanto a las intersecciones entre conjuntos, también hay que tener en cuenta su realidad física y no su apariencia.
Como no es la apariencia lo que importa, pues para distinguir la exposición de cada elemento pues debemos de señalar los que son representación repetida porque ya están en otro conjunto, con objeto de no confundirlos y operar nuevamente con ellos.
Ello se muestra en el dibujo siguiente:

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En el dibujo anterior, vemos que puede haber elementos repetidos (rectángulo, triángulo, 5, etc.), pero que por esa razón y para no confundir los elementos de intersección de los propios de cada conjunto, debemos señalar los elementos de intersección.
Para efectuar la suma de todos los elementos, se ha de tener en cuenta de que en el superconjunto resultante están todos los elementos componentes de los conjuntos que se suman.
En el dibujo anterior, señalamos los elementos de intersección para sumarlos solo una vez cada uno.
En el resultado vemos que existen elementos repetidos (rectángulo, triángulo, etc.), porque aunque su parecido era total, sin embargo realmente había más de un rectángulo, triángulo, etc. en los conjuntos a sumar.

Ahora bien, la base y manera de ajustar y expresar los elementos de intersección entre conjuntos es la misma que en la teoría actual, como se ve en el dibujo inferior. Así como los signos y fórmulas de expresión.
Lo único que puede variar en algún caso es cuando pueda haber repetición de elementos semejantes que haya que incluirlos todos y no eliminar los aparentes como en la teoría actual.
Así que en el dibujo de abajo ve como los elementos de intersección y su forma de expresarlos es lo mismo en general.

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Operaciones con conjuntos vacíos.

El conjunto vacío es un conjunto sin elementos que puede ser representado por el cero ( 0 ), pero sigue siendo un conjunto y por tanto puede ser sometidos a operaciones de conjuntos.

Por tanto podemos decir que el cero ( 0 ) es el conjunto vacío por excelencia.

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Cuando operamos con conjuntos vacíos normalmente nos fijamos solo y exclusivamente en el resultado de sus elementos componentes, que al no tener pues datamos como cero.
Pero nos olvidamos de algo esencial, y es del número de conjuntos vacíos con los cuales estamos operando.
Si como en el dibujo tomamos un vaso vacío y los multiplicamos por 3, el resultado real será que tenemos 3 vasos vacíos, pero el resultado parcial será que por estar vacíos pues el total número de sus elementos es cero.
Así que en este caso ajustamos y damos un resultado SOLOS DE SUS ELEMENTOS, pero nos olvidamos que ESTAMOS USANDO UNA SERIE DE CONJUNTOS.
Pues bien esto es de primera importancia pues este método de operación lo usamos después como una propiedad y justificación de la operación que estamos haciendo.
Y claro, al tomar como principio y explicación a un resultado parcial y no al resultado total de la operación, pues terminamos por aceptar principios de indeterminación que no existen.
Por ejemplo, si ponemos que 1x0 = 4x0 estamos aceptando que ambos términos son idénticos, cuando no lo son, pues en el primero hay solo un conjunto vacío y el segundo hay cuatro conjuntos vacío, aunque el número de elementos componentes sea igual en ambos término de la igualdad.
Pues bien, cuando operamos de este modo (3x0 = 0) debemos de convenir en que estamos operando PARCIALMENTE y solo con relación a los elementos de los conjuntos vacíos que estamos usando.
Del mismo modo debemos aceptar que dicha operación es PARCIALMENTE INDETERMINADA, puesto que tres conjuntos vacíos no puede ser lo mismo que un conjunto vacío.
Y por esta misma razón no podemos usar este tipo de postulados para concluir que 0/0 sea una operación indeterminada, puesto que su solución es 0/0=1 ateniéndonos a las propiedades de la división.

Vemos a continuación un dibujo explicativo de como debemos operar y representar a los conjuntos vacíos, a diferencia de lo que hacemos con la matemática pura que no necesita de esta diferenciación.

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Conjuntos indefinidos.

Los conjuntos indefinidos pueden considerarse como una forma de los conjuntos complejos en el cual A(X) representa a un conjunto complejo no definido o no conocido de antemano.

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Así A(X) es un conjunto del cual no conocemos sus elementos o no están bien definidos, pero que queremos operar con él.
En este caso consideramos en principio a este conjunto A(X) como a un conjunto unitario o sea de un solo elementos desconocido, pero que una vez resultas las operaciones a las que le sometemos, pues podemos descubrir la realidad de este conjunto A(X) y proceder a su resolución final.
Este tipo de operaciones de conjuntos nos sirve para operar con todo tipo de elementos, que como en el ejemplo del dibujo pueden ser el cero, el infinito, un cuadrado, un grupo de animales, etc.
Por tanto aquí procedemos primero a realizar las operaciones y después a conocer el contenido del conjunto para aplicarle la resultante de las operaciones realizadas.

Símbolo del conjunto, subconjuntos y elementos del Cosmos.

Como entiendo que el conjunto total de elementos del Cosmos no tienen un símbolo determinado, ni tampoco los elementos indefinidos de antemano que pueden pertenecer a este conjunto general de elementos cósmicos, pues propongo el símbolo IUS para el conjunto de elementos cósmicos, con algunas diferencias para sub-conjunto y elementos, que como he dicho pueden en principio ser indeterminados.

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Operaciones

Como podemos ver, los conjuntos o elementos ius ( U| , U, U ) los podemos someter a cualquier operación como a cualquier otro conjunto.
Pero además, tendremos en cuanta que dichos conjuntos y elementos pueden ser desconocidos o no.
Así podemos tener un elemento conocido U que puede ser un lápiz, o ser un elemento desconocido de antemano que también puede ser un lápiz u otro elemento.
En cualquier caso podemos operar con ellos, y después ya veremos si podemos averiguar con qué clase de elementos estamos operando.
Ello lo podemos ver en el ejemplo del dibujo:
3 x U = 3U donde U puede ser un elemento conocido o desconocido.

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Un ejemplo práctico de multiplicación

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El producto de un número N por un conjunto de elementos "ius" U da como resultado a otro conjunto U’ que contienen N veces a cada uno de los elementos del conjunto multiplicando U.

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