Aufgabenstellung:

Die Lösung der Poissongleichung hat in der Umgebung von Ecken dreidimensionaler Gebiete singuläre Komponenten der Form r^a_iu_i. Dabei ist a_i(a_i+1)=b_i, und b_i,u_i sind Eigenwerte bzw. Eigenfunktionen des Laplace-Beltrami-Operators, der über einem Teilgebiet der Kugeloberfläche definiert ist. Diese Eigenpaare können durch Diskretisierung mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode und anschließender Lösung des entstehenden Matrix-Eigenwertproblems näherungsweise bestimmt werden.

Die Genauigkeit der erhaltenen Eigenpaare soll durch einen geeigneten Fehlerschätzer geschätzt werden. Dazu ist zum Beispiel der Zugang, der von Verfürth für den Laplace-Operator beschrieben wird, auf den Laplace-Beltrami-Operator zu übertragen.

Gliederung:

Kapitel 1. Einleitung

Kapitel 2. Begriffe und Bezeichnungen

2.1 L^p-Räume, Sobolevräume und Dualräume
2.2 Adjungierte Operatoren, Restriktions- und Interpolationsoperatoren
2.3 Triangulierung
2.4 Polynomräume und Projektionen
2.5 Bubble-Funktionen
2.6 Prolongationsoperator

3.1 Cauchy-Schwarz- und Hölder-Ungleichung
3.2 Fréchet- und Gâteaux-Ableitung
3.3 Die Greenschen Formeln

3.3.1 Die 1. Greensche Formel
3.3.2 Die 2. Greensche Formel

3.4 Hilfssätze für die Fehlerabschätzung

4.1 Eigenschaften linearer Differentialoperatoren
4.2 Fehlerschätzer für ein allgemeines Problem
4.3 Fehlerschätzer für den Beltrami-Operator

4.3.1 Koordinatentransformation
4.3.2 Der Beltrami-Operator
4.3.3 Neue Bezeichnungen und Hilfssätze
4.3.4 Anwendung

5.1 Ansatzfunktionen und Quadraturpunkte
5.2 Ableitungen ¶u_h/¶j, ¶u_h/¶q und Normalenvektor
5.3 Algorithmus
5.4 Numerische Resultate

A.1 Erste und zweite Ableitungen
A.2 Der Normalenvektor
A.3 Normalenvektor für allgemeine Gebiete
A.4 Definition neuer Normen

Kurzinhalt:

Die Lösung der Poisson-Gleichung hat in der Umgebung von Ecken eine gewisse Struktur. Die Betrachtung des Dirichlet-Problems für den Laplace-Operator auf der Oberfläche der dreidimensionalen Einheitskugel führt unter Ausnutzung dieser Struktur auf ein lineares Eigenwertproblem. Mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode können die zugehörigen Eigenwerte und Eigenfunktionen approximativ berechnet werden. Gegenstand der Diplomarbeit ist die Herleitung und der Beweis eines Fehlerschätzers, der die Genauigkeit der erhaltenen Eigenpaare prüft. Dafür wird ein von Verfürth beschriebener Zugang für die Behandlung eines allgemeinen linearen Eigenwertproblems untersucht und auf den Fall des Laplace-Beltrami-Operators übertragen.

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Aufgabenstellung - Gliederung - Kurzinhalt - Literaturverzeichnis

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So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.
(Bertrand  Russel)

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