Se trata de un problema clásico de las ciencias físicas: el análisis dimensional de fórmulas.
En estas ciencias, las fórmulas usadas (para denotar ciertos fenómenos) son formadas por operadores aplicados a variables o constantes, las cuales tienen asociadas dimensiones. Estas son, a su vez, expresiones formadas a partir de ciertas magnitudes fundamentales, por ejemplo: masa (M), longitud (L) y tiempo (T). En este caso, las dimensiones asociadas a las variables o constantes de estas fórmulas serán expresiones definidas sobre las constantes M, L, T. Algunos ejemplos se muestran a continuación:
Una variable o constante que representa:
por ser cociente de una cantidad de
longitud por una cantidad de tiempo.
por ser producto de dos longitudes.
por ser producto de una cantidad de masa
por otra de aceleración que, a su vez, es
cociente entre una cantidad de velocidad y
una cantidad de tiempo.
Ahora, a partir de las dimensiones de las variables y constantes, pueden deducirse las dimensiones asociadas a las fórmulas definidas sobre ellas.
Para esto es necesario establecer:
A efectos de 1 se considerarán solamente los operadores aritméticos
usuales: +, -, *, /.
Para establecer 2 es necesario adoptar algunos supuestos:
Así, si las magnitudes fundamentales fueran masa, longitud y tiempo, una dimensión genérica sería:
y para una cantidad de velocidad, en particular, valdría:
En este punto, el lector puede ensayar una primera versión de las reglas que caracterizan la dimensión del resultado de cada operador artimético a partir de las dimensiones de sus operandos.