ALTIN SAYI
TANRISAL ORAN BAĞINTISI
a ve b (a'nın b'den büyük olması
koşuluyla), p büyüklüğünün iki parçasıysa, ,
eşitliği elde edilir |
ve p = a + b olduğuna göre
, dolayısıyla
bağıntıları bulunur. En küçük
parçaya (b) 1 |
değeri verilirse,
, dolayısıyla elde edilir. İkinci dereceden bu denklemin artı kare
kökü |
sonucunu verir; altın sayı budur. |
GÜZELLİĞİN KURALI
Altın kesit oranı, İtalyan matematikçi
Fibonacci'nin (XII. yy. sonu) 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...
biçiminde verdiği toplamalı dizisine
yakındır; bu dizinin her terimi, kendinden önce gelen iki terimin toplamına
eşittir. Art arda gelen iki terim arasındaki oran, Altın kesite yaklaşır.
Mimarlık, heykelcilik ve resim alanlarında bir güzellik kuralı olarak benimsenen
altın sayıya, uzunluklar, yüzeyler ve biçimler arasındaki oranlarda çok sık
rastlanır. Altın sayıya da Tanrısal oran, Keops piramiti, i Parthenon ve
Milano'daki Duomo gibi büyük yapıtlarda açıkça görülür.
Pytagorasçıların ve onları izleyen kuşakların uyum simgesi olan altın
sayı, Mısır
Sanatıve Yunan
tapınaklarının, gotik üslubunda kiliselerin temel çizgilerinde gözlenir. Ayrıca
Akdeniz bölgesindeki (Mısır, Yunan, Bizans) yapıtların yanı sıra, Rönesans
dönemi yapıtları ile gotik üslubundaki yapıtlara özel bir ritim verir. Özellikle
Eski Yunan sanatında, insan bedenindeki orantılı ölçüler, uyumlu gelişme gibi
özelliklerde Tanrısal orana uyulduğu görülür.
Bana kalırsa bu orantı düzgün her geometrik
şeklin içerisinde vardır, şeklin orantılı bir biçimde parçalanması altın sayıya
yaklaşık bir değere ulaşmayı sağlar.
KAYNAK 2
Kâinattaki müthiş nizamı her yerde
hakimiyetini hissettirmektedir. Bu nizamı anlatmada çoğu defa kelimeler yetersiz
kalmakta, matematiğin farklı diline ve bakış açısına müracaat etmek
gerekmektedir. Birbiri ile ilgisiz gibi görünen hadise ve yapılarda benzer
özelliklerin bulunması, bütün işlere hakim olan ve tasarrufta bulunan bir
Yaratıcıya işaret etmektedir. Bu yazıda matematikteki çok özel bir sayı olan
altın orandan, bu sayının tarihçesi, sanat, estetik uygulamalarının yanı sıra en
önemli özelliği olan kâinattaki uygulamalarından bahsedeceğiz.
İnsanlar bazı dikdörtgenleri diğerlerine tercih ederler. Şişman ve kare
olanlarından, zayıf ve uzun olanlarına bir dizi dikdörtgen gösterildiğinde,
kenarları belli bir orana sahip olanı genelde tercih edilir. Bu oran altın oran
olarak bilinen sayıdır. Bu sayı estetiğin temel sayısı olup, tarih boyunca
Yunan mimarisinden
Mona
Lisa'nın yüz resminin çerçevesine kadar kullanılmıştır. Bu sayıyla sadece
estetikte değil, bilimde de karşılaşılmaktadır. Physical Review B dergisinde
yeni yayımlanan bir makalede, bazı metallerin özelliklerinde bu sayıya
rastlanıldığı rapor edilmiştir. Altın orana, bitki saplarının üzerinde
yaprakların yerleştirilmesinde, ayçiçeğinin çekirdeklerinin dizilişinde, deniz
kabuklarının ve galaksilerin spirallerinde, hattâ dönen karadeliklerin
özelliklerinde rastlanılmaktadır. Bu sayı kâinatın hemen her yerindedir.
Altın oran, ilk önce MÖ 300'lü yıllarda Yunan matematikçi
Öklid tarafından tanımlanmışsa Pisagor’un
takipçileri tarafından muhtemelen iki yüzyıl önce bilinmekteydi. Öklid bu oranı
iki eşit olmayan parçaya bölünen doğru cinsinden tanımlamıştı. Eğer uzun
parçanın kısa parçaya oranı, bütün doğrunun uzun parçaya oranına eşit ise, doğru
altın oranda bölünmüş demektir. Sayısal olarak bu oran; 1,6180339887…
şeklindedir.
Bu oran bazı ilginç matematikî özelliklere de sahiptir. Sayının karesini almak
için sayıya 1 eklemeniz yeterlidir. Çarpma işlemine göre tersi için ise, sayıdan
1 çıkarmanız gerekir. Bu özelliğinden dolayı elinizdeki altın dikdörtgenden
(kenarları oranı altın oran olan) bir kenarı kısa kenar olan bir kareyi kesip
ayırırsanız geriye yine altın bir dikdörtgen kalacaktır. Diğer bir özellik ise
şöyledir: Herhangi iki sayıyı seçerek bir sayı dizisi başlatalım. Bu sayıların
toplamı dizinin üçüncü elemanı olsun. Dördüncü eleman iki ve üçüncü elemanın
toplamı, beşinci eleman ise, kendisinden önceki iki elemanın toplamı olsun.
Örneğin 7 ve 11 sayıları ile başladıysanız dizi 7, 11, 18, 29, 47, 76… eklinde
devam edecektir. Dizinin 20. sayısını 19. sayıya böldüğünüzde yaklaşık altın
oran elde edilecektir. Matematik diliyle ifade edersek (an / an-1 )=altın oran
olacaktır.
Tabiatta çok fazla karşılaşılan Fibonacci sayı
dizisi bu mantıkla elde edilmektedir. Dizi şöyledir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55… Dizinin ilerleyen sayılarında alınan bir terimin bir önceki terime oranı
altın orana yakınlaşmaktadır. Bu dizi deniz kabuğu spirallerinin oranlarını ve
ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilişini belirler.
Sanatçı ve mimarların altın orana rağbeti, İtalyan rahip
ve matematikçi Luca Pacioli'ye dayanmaktadır. 15. yüzyılda Pacioli üç
ciltlik 'Kutsal Oran' adlı bir risale yayımlamıştı. Altın Oranın ondalık
açılımındaki rakamların grup halinde hiç tekrar etmemesini Allah'ın kavranamayan
mahiyetine benzetmişti. Pacioli'den sonra birçok ressam, mimar ve müzisyen bu
oranı eserlerinde kullanmıştır. Bazı meşhur örnekler: Bestekâr
Debussy, Bartok ve mimar Le
Corbusier...
Altın oranın uygulama alanlarından birisi olan yaprakların dikey bir bitki
sistemindeki dizilişi olan phyllotaxis'i ele alalım. Her yeni yaprak büyürken,
bir altındaki yapraktan belli bir açı farkı ile çıkar. Bu açı büyük çoğunlukla
137,5 derecedir. 360 derecenin altın oranda bölünmesi ile 137,5 ve 222,5
derecelik açılar elde edilir. Phyllotaxis'te neden altın oran çıkmaktadır? Bu
tamamıyla verimlilikle ilgilidir. Sapın ucundaki her bir yeni yaprak güneş
ışığını alırken önceki yaprakları en az şekilde gölgede bırakmalıdır. Altın oran
şeklindeki açı bölünmesi ile sap etrafına spiral şeklinde yerleştirilen
yapraklar, ideal konumları ile güneş ışığından maksimum istifadeyi elde
edebilmektedir. Eğer birbirini takip eden yapraklar 120 derece açıyla
yerleştirilmiş olsalardı, yukarıdan bakan birisi yaprakları 3 sütun halinde
görecekti ve bu sütunların arasında büyük boşluklar oluşacaktı. Bu ise güneş
ışınlarının verimli ulaşmasını engelleyecekti. Eğer açı 50 derece olsa idi, üç
sütundan fazla sütun olacaktı; ama yine boşluklar bulunacaktı ve az bir yaprak
sayısından sonra birbirinin tamamen altına rastlayan yapraklar bulunacaktı.
Fakat 137,5 derecelik açıda boşluklar asgariye indirilmekte ve ışık alma
kapasitesi düşürülmeden maksimum sayıda yaprak yerleşebilmektedir.
Altın orana malzeme biliminde de rastlanıldı. Kristaller gibi tamamen düzgün
yapıları olmayan kuasikristallerin büyümesini ele alalım. Bu kristaller 5 katlı
simetriye sahiptir ve tam dönüşün beşte biri kadar döndürüldüğünde aynı
gözükürler. Bu kristallerin 1984'te keşfedilmesinden beri birçok araştırmacı
bunları büyütmeye ve garip özelliklerini incelemeye başlamıştır. New York
Eyaleti’ndeki Brookhaven Ulusal Lâboratuarı’ndan Tanhong Cai bu tipteki iki
kristalin büyütülmüş görüntülerini inceledi. Kristaller, Alüminyum-Bakır-Demir
ve Alüminyum-Paladyum-Manganez alaşımlarına aitti. Kristal şekillerinde düzlem
alanların keskin düşey basamaklarla birbirinden ayrıldığını gördü. Basamaklar
iki baskın ölçüde çıkmaktaydılar ve bu iki ölçünün oranı altın oranına eşitti.
Bu buluş 2002 yılına ait yeni bir buluştu.
Altın orana sadece dünyada rastlanmamaktadır. Spiral şeklindeki galaksilerde de
bu orana rastlanmıştır. Makro âlemdeki diğer bir uygulama da karadeliklerdir.
1989'da Adelaide Üniversitesi’nden Paul Davies dönen karadeliklerin
termodinamiğinin altın oranla münasebetli olduğunu keşfetti.
Hemen her şey pozitif özgül ısıya sahiptir. Böylece enerji bıraktıklarında
soğurlar. Dönen bir karadelik ise, negatif özgül ısıya sahip olabilir; böylece
enerji bıraktığında daha sıcak olur. Karadeliğin özgül ısısının negatif veya
pozitif olması, karadeliğin kütlesine ve dönme hızı ile ilgili dönme
parametresine bağımlıdır. Davies, karadeliğin kütlesinin karekökünün dönme
parametresinin kareköküne, oranı altın orana eşit olduğunda özgül ısısının
negatiften pozitife değiştiğini buldu. Yani bir ölçüde altın oran karadeliğin
karakterini belirliyordu.
Altın oranın tabiatta ve canlılarda sayısız örnekleri vardır. Parmak ucundan
başlayıp, elin içine doğru gidildikçe her bir kemiğin bir öncekine oranı altın
oran çıkmaktadır. Çam kozalaklarında, altın oran yöntemi ile elde edilen
spiralleri görmek mümkündür. Echinacea purpura çiçeğinde de bu spiraller tespit
edilmiştir. Bu konudaki sayısız örneklerden son bir örneği, karnabahar sebzesini
ve spirallerini verelim.
Gelişmekte olan bilim sayesinde altın oranın kâinattaki yeni uygulamaları
keşfedilebilecektir. Malzeme bilimi ve karadeliklerle ilgili son buluşlar, bu
görüşü teyit etmektedir. Belki de bu oranın teknolojiye aktarılması ile daha
verimli ve hayatımızı daha kolaylaştıracak ürünler kullanıma sunulabilecektir.
Kâinatın içerisine serpiştirilmiş bu ve benzeri sırlar, düşünce ufkumuzda
yenilenmeye ve ilerlemeye vesile olabilir.
Kaynak:
Prof.Dr. M. Sami
Polatöz (Sızıntı Dergisi)
- Marcus Chown, Why Should Nature Have aa Favorite Number, NewScientist, 21/28
December 2002, 55-56.
KAYNAK 3
Allah, her şey için bir ölçü kılmıştır."
(Talak Suresi, 3)
"... Rahman (olan Allah)ın yaratmasında hiçbir 'çelişki ve uygunsuzluk' (tefavüt)
göremezsin. İşte gözü(nü) çevirip-gezdir; herhangi bir çatlaklık (bozukluk ve
çarpıklık) görüyor musun? Sonra gözünü iki kere daha çevirip-gezdir; o göz
(uyumsuzluk bulmaktan) umudunu kesmiş bir halde bitkin olarak sana dönecektir."
(Mülk Suresi 3-4)
"...Eğer uygulama veya işlev unsurları açısından hoşa giden ya da son derece
dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada Altın Sayı'nın bir fonksiyonunu
arayabiliriz... Altın Sayı, matematiksel hayal gücünün değil de, denge
yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür."1
Mısır'daki piramitler,
Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa adlı tablosu, ay çiçeği, salyangoz, çam
kozalağı ve parmaklarınız arasındaki ortak özellik nedir?
Bu sorunun cevabı, Fibonacci isimli İtalyan
matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da
adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden
önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır. 2
Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584, ...
Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden
önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta
serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı) sabitlenir. İşte bu sayı
"altın oran" olarak adlandırılır.
ALTIN ORAN = 1,618
233 / 144 = 1,618
377 / 233 = 1,618
610 / 377 = 1,618
987 / 610 = 1,618
1597 / 987 = 1,618
2584 / 1597 = 1,618
İnsan Vücudu ve Altın Oran
Sanatçılar, bilim adamları ve tasarımcılar, araştırmalarını yaparken ya da
ürünlerini ortaya koyarlarken orantıları altın orana göre belirlenmiş insan
bedenini ölçü olarak alırlar. Leonardo da Vinci ve
Corbusier tasarımlarını yaparken altın orana göre belirlenmiş insan
vücudunu ölçü almışlardır. Günümüz mimarlarının en önemli başvuru kitaplarından
biri olan Neufert'te de altın orana göre belirlenmiş insan vücudu temel
alınmaktadır.
İnsan Bedeninde Altın Oran
Bedenin çeşitli kısımları arasında var olduğu öne sürülen ve yaklaşık altın oran
değerlerine uyan "ideal" orantı ilişkileri genel olarak bir şema halinde
gösterilebilir.3
İnsan vücudunda altın orana verilebilecek ilk örnek; göbek ile ayak arasındaki
mesafe 1 birim olarak kabul edildiğinde, insan boyunun 1,618'e denk gelmesidir.
Bunun dışında vücudumuzda yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:
Parmak ucu-dirsek arası / El bileği-dirsek arası,
Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe / Kafa boyu,
Göbek-baş ucu arası mesafe / Omuz hizasından baş ucuna olan mesafe,
Göbek-diz arası / Diz-ayak ucu arası.
İnsan Eli
Elinizi derginin sayfasından çekip ve işaret parmağınızın şekline bir bakın.
Muhtemelen orada da altın orana şahit olacaksınız.
Parmaklarımız üç boğumludur. Parmağın tam boyunun İlk iki boğuma oranı altın
oranı verir (baş parmak dışındaki parmaklar için). Ayrıca orta parmağın serçe
parmağına oranında da altın oran olduğunu fark edebilirsiniz.4
2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak
vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8
fibonocci sayılarına uyar.
İnsan Yüzünde Altın Oran
İnsan yüzünde de birçok altın oran vardır. Ancak bunu elinize hemen bir cetvel
alıp insanların yüzünde ölçüler almayı denemeyin. Çünkü bu oranlandırma, bilim
adamları ve sanatkarların beraberce kabul ettikleri "ideal bir insan yüzü" için
geçerlidir.
Örneğin üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın
oranı verir. İlk dişin genişliğinin merkezden ikinci dişe oranı da altın orana
dayanır. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır. Bunların
dışında insan yüzünde yer alan diğer bazı altın oranlar şöyledir:
Yüzün boyu / Yüzün genişliği,
Dudak- kaşların birleşim yeri arası / Burun boyu,
Yüzün boyu / Çene ucu-kaşların birleşim yeri arası,
Ağız boyu / Burun genişliği,
Burun genişliği / Burun delikleri arası,
Göz bebekleri arası / Kaşlar arası.
Akciğerlerdeki Altın Oran
Amerikalı fizikçi B. J. West ile doktor A. L. Goldberger, 1985-1987 yılları
arasında yürüttükleri araştırmalarında5, akciğerlerin yapısındaki altın oranının
varlığını ortaya koydular. Akciğeri oluşturan bronş ağacının bir özelliği,
asimetrik olmasıdır. Örneğin, soluk borusu, biri uzun (sol) ve diğeri de kısa
(sağ) olmak üzere iki ana bronşa ayrılır. Ve bu asimetrik bölünme, bronşların
ardışık dallanmalarında da sürüp gider.6 İşte bu bölünmelerin hepsinde kısa
bronşun uzun bronşa olan oranının yaklaşık olarak 1/ 1,618 değerini verdiği
saptanmıştır.
Altın Dikdörtgen ve Sarmallardaki Tasarım
Kenarlarının oranı altın orana eşit olan bir dikdörtgene "altın dikdörtgen"
denir. Uzun kenarı 1,618 birim kısa kenarı 1 birim olan bir dikdörtgen altın
dikdörtgendir. Bu dikdörtgenin kısa kenarının tamamını kenar kabul eden bir kare
ve hemen ardından karenin iki köşesi arasında bir çeyrek çember çizelim. Kare
çizildikten sonra yanda kalan küçük bir kare ve çeyrek çember çizip bunu asıl
dikdörtgenin içinde kalan tüm dikdörtgenler için yapalım. Bunu yaptığınızda
karşınıza bir sarmal çıkacaktır.
İngiliz estetikçi William Charlton insanların
sarmalları hoş bulmaları ve binlerce yıl öncesinden beri kullanmalarını
"Sarmallardan hoşlanırız çünkü, sarmalları görsel olarak kolayca izleyebiliriz."
7 diyerek açıklar.
Temelinde altın oranı yatan sarmallar doğada şahit olabileceğiniz en eşsiz
tasarımları da barındırırlar. Ayçiçeği ya da kozalak üzerindeki sarmal
dizilimler bu konuda verilebilecek ilk örneklerdir. Yüce Allah'ın kusursuz
yaratışının ve her varlığı bir ölçü ile yarattığının bir örneği olan bu durumun
yanı sıra birçok canlı büyüme sürecini de logaritmik sarmal formunda
gerçekleştirir. Bunun sarmaldaki yayların daima aynı biçimde olması ve yayların
büyüklüğünün değişmesine karşın esas şeklin (sarmal) hiç değişmemesidir.
Matematikte bu özelliğe sahip başka bir şekil yoktur.8
Deniz Kabuklarındaki Tasarım
Bilim adamları deniz dibinde yaşayan ve yumuşakça olarak sınıflandırılan
canlıların taşıdıkları kabukların yapısını incelerken bunların formu, iç ve dış
yüzeylerinin yapısı dikkatlerini çekmiştir:
"İç yüzey pürüzsüz, dış yüzeyde yivliydi. Yumuşakça kabuğun içindeydi ve
kabukların iç yüzeyi pürüzsüz olmalıydı. Kabuğun dış köşeleri kabukların
sertliğini artırıyor ve böylelikle, gücünü yükseltiyordu. Kabuk formları
yaratılışlarında kullanılan mükemmellik ve faydalarıyla hayrete düşürür.
Kabuklardaki spiral fikir mükemmel geometrik formda ve şaşırtıcı güzellikteki
'bilenmiş' tasarımda ifade edilmiştir."9
Yumuşakçaların pek çoğunun sahip olduğu kabuk logaritmik spiral şeklinde büyür.
Bu canlıların hiçbiri şüphesiz logaritmik spiral bir yana, en basit matematik
işleminden bile habersizdir. Peki nasıl olup da söz konusu canlılar kendileri
için en ideal büyüme tarzının bu şekilde olduğunu bilebiliyorlar? Bazı bilim
adamlarının "ilkel" olarak kabul ettiği bu canlılar, bu şeklin kendileri için en
ideal form olduğunu nereden bilmektedirler? Böyle bir büyüme şeklinin bir şuur
yada akıl olmadan gerçekleşmesi imkansızdır. Bu şuur ne yumuşakçalarda ne de
-bazı bilim adamlarının iddia ettiği gibbi- doğanın kendisinde mevcuttur. Böyle
bir şeyi tesadüflerle açıklamaya kalkışmak çok büyük bir akılsızlıktır. Bu ancak
üstün bir aklın ve ilmin ürünü olacak bir tasarımdır. Bu tasarım herşeyi
yaratmış olan Yüce Allah'a aittir:
"... Rabbim, ilim bakımından herşeyi kuşatmıştır. Yine de öğüt alıp-düşünmeyecek
misiniz?" (Enam Suresi, 80)
Biyolog Sir D'Arcy Thompson uzmanı olduğu bu tür büyümeyi "Gnom tarzı büyüme"
olarak adlandırılmıştı. Thompson'ın bu konudaki ifadeleri şöyledir:
"Bir deniz kabuğunun büyüme sürecinde, aynı ve değişmez orantılara bağlı olarak
genişlemesi ve uzamasından daha sade bir sistem düşünemeyiz. Kabuk ...giderek
büyür, fakat şeklini değiştirmez."10
Birkaç santimetre çapındaki bir nautilusta, gnom tarzı büyümenin en güzel
örneklerinden birini görmek mümkündür. C. Morrison insan zekası ile bile
planlaması hayli güç olan bu büyüme sürecini şöyle anlatır:
"Nautilus'un kabuğunun içinde, sedef duvarlar ile örülmüş bir sürü odacığın
oluşturduğu içsel bir sarmal uzanır. Hayvan büyüdükçe, sarmal kabuğunun ağız
kısmında, bir öncekinden daha büyük bir odacık inşa eder ve arkasındaki kapıyı
bir sedef tabakası ile örterek daha geniş olan bu yeni bölüme ilerler."11
Kabuklarındaki farklı büyüme oranlarını içeren logaritmik sarmallara göre diğer
deniz canlıları bilimsel adlarıyla şöyle sıralanabilir:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa,
Solarium Trochleare.
Bugün fosil halinde bulunan ve Amonitlerde logaritmik sarmal şeklinde gelişen
kabuklar taşırlar.
Hayvanlar dünyasında sarmal formda büyüme sadece yumuşakçaların kabukları ile
sınırlı değildir. Özellikle Antilop, yaban keçisi, koç gibi hayvanların
boynuzları gelişimlerini temelini altın orandan alan sarmallar şeklinde
tamamlarlar.12
İşitme ve Denge Organında Altın Oran
İnsanın iç kulağında yer alan Cochlea (Salyangoz) ses titreşimlerini aktarma
işlevini görür. İçi sıvı dolu olan bu kemiksi yapı, içinde altın oran barındıran
=73 derece 43´ sabit açılı logaritmik sarmal
formundadır.
Sarmal Formda Gelişen Boynuzlar ve Dişler
Filler ile soyu tükenen mamutların dişleri, aslanların tırnakları ve
papağanların gagalarında logaritmik sarmal kökenli yay parçalarına göre
biçimlenmiş örneklere rastlanır. Eperia örümceği de ağını daima logaritmik
sarmal şeklinde örer. Mikroorganizmalardan planktonlar arasında, globigerinae,
planorbis, vortex, terebra, turitellae ve trochida gibi minicik canlıların
hepsinin sarmala göre inşa edilmiş bedenleri vardır.
Mikrodünyada Altın Oran
Geometrik şekiller sadece üçgen, kare veya beşgen, altıgen ile kısıtlı değildir.
Bu saydığımız şekiller değişik şekillerde de biraraya gelerek yeni üç boyutlu
geometrik şekiller oluşturabilirler. Bu konuda ilk olarak küp ve piramit örnek
olarak verilebilir. Ancak bunların dışında, günlük hayatta hiç karşılaşmadığımız
hatta ismini dahi ilk defa duyduğumuz tetrahedron (düzgün dört yüzlü),
oktahedron, dodekahedron ve ikosahedron gibi üç boyutlu şekillerde vardır.
Dodekahadron 13 tane beşgenden, ikosahedron ise 20 adet üçgenden oluşur. Bilim
adamları bu şekilleri matematiksel olarak birbirine dönüşebileceğini ve bu
dönüşümün altın orana bağlı oranlarla gerçekleştiğini bulmuşlardır.
Miroorganizmalarda altın oran barındıran üç boyutlu formlar oldukça yaygındır.
Birçok virüs ikosahedron yapısında bir biçime sahiptir. Bunların en ünlüsü Adeno
virüsüdür. Adeno virüsünün protein kılıfı, 252 adet protein alt biriminin
düzenli bir biçimde dizilmesi ile oluşur. İkosahedronun köşelerinde yer alan 12
alt birim ise beşgen prizmalar biçimdedir. Bu köşelerden diken benzeri yapılar
uzanır.
Virüslerin altın oranları bünyesinde barındıran formlarda olduğunu tespit eden
ilk kişi 1950'li yıllarda Londra'daki Birkbeck Koleji'nden A. Klug ile D.
Caspar'dır.13 Üzerinde ilk tespit yapılan virüs ise Polyo virüsüdür. Rhino 14
virüsü de Polyo virüsü ile aynı formu gösterir.
Peki acaba virüsler neden biz insanların zihnimizde canlandırmasını bile
zorlukla yapabildiğimiz, böyle altın orana dayalı özel bir formlara sahiptirler?
Bu formların kaşifi A. Klug bu konuyu şöyle açıklıyor:
"Caspar ile ben, küresel bir virüs kılıfı için optimum tasarımın ikosahedron
tarzı bir simetriye dayandığını gösterdik. Böyle bir düzenleme bağlantılardaki
sayıyı en aza indirir... Buckminster Fuller'in yarı küresel jeodezik
kubbelerinden14 çoğu da benzer bir geometriye göre inşa edilirler. Bu kubbelerin
oldukça ayrıntılı bir şemaya uyularak monte edilmeleri gerekir. Halbuki virüs,
bir virüs kılıfı, alt birimlerinin esnekliğinden ötürü kendi kendini inşa
eder."15
Klug'un bu açıklaması çok açık bir gerçeği bir kez daha ortaya koymaktadır.
Bilim adamlarının "en basit ve en küçük canlı parçalarından biri"16 olarak
gördükleri virüslerde bile hassas bir planlama ve akıllı bir tasarım vardır. Bu
tasarım, dünyanın önde gelen mimarlarından
Buckminster
Fuller'ın gerçekleştirdiği tasarımlardan çok daha başarılı ve üstündür.
Dodekahedron ile ikosahedron, tek hücreli deniz yaratıkları olan ışınlıların
silisten yapılma iskeletlerinde de ortaya çıkar.
Işınlılar (radiolaria), her köşesinden birer yalancı ayak çıkan düzgün
Dodekahedron gibi, bu iki geometrik formdan kaynaklanan yapıları, yüzeylerindeki
çok çeşitli oluşumlarla birlikte değişik güzellikteki bedenleri oluştururlar.17
Büyüklükleri bir milimetreden daha küçük olan bu organizmalara örnek olarak,
ikosahedron yapılı Circigonia Icosahedra ile dodekahedran iskeletli Circorhegma
Dodecahedra'nın adları verilebilir.18
DNA'da Altın Oran
Canlıların tüm fiziksel özelliklerinin depolandığı molekül de altın orana
dayandırılmış bir formda yaratılmıştır. yaşam için program olan DNA molekülü
altın orana dayanmıştır. DNA düşey doğrultuda iç içe açılmış iki sarmaldan
oluşur. Bu sarmallarda her birinin bütün yuvarlağı içindeki uzunluk 34 angström
genişliği 21 angström'dür. (1 angström; santimetrenin yüz milyonda biridir) 21
ve 34 art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır.
Kar Kristallerinde Altın Oran
Altın oran kristal yapılarda da kendini gösterir. Bunların çoğu gözümüzle
göremeyeceğimiz kadar küçük yapıların içindedir. Ancak kar kristali üzerindeki
altın oranı gözlerinizle göre bilirsiniz. Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu
dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı hep altın oranı verir.19
Uzayda Altın Oran
Evrende, yapısında altın oran barındıran birçok spiral galaksi bulunur.
Fizikte de Altın Oran....
Fibonacci dizileri ve altın oran ile fizik biliminin sahasına giren konularda da
karşılaşırız:
"Birbiriyle temas halinde olan iki cam tabakasının üzerine bir ışık
tutulduğunda, ışığın bir kısmı öte yana geçer, bir kısmı soğurulur, geriye
kalanı da yansır. Meydana gelen, bir, 'çoklu yansıma' olayıdır. Işının tekrar
ortaya çıkmadan önce camın içinde izlediği yolların sayısı, ışının maruz kaldığı
yansımaların sayısına bağlıdır. Sonuçta, tekrar ortaya çıkan ışın sayılarını
belirlediğimizde bunların Fibonacci sayılarına uygun olduğunu anlarız."20
Doğada birbiriyle ilişkisiz canlı veya cansız pek çok yapının belli bir
matematik formülüne göre şekillenmiş olması onların özel olarak tasarlanmış
olduklarının en açık delillerinden biridir. Altın oran, sanatçıların çok iyi
bildikleri ve uyguladıkları bir estetik kuralıdır. Bu orana bağlı kalarak
üretilen sanat eserleri estetik mükemmelliği temsil ederler. Sanatçıların taklit
ettikleri bu kuralla tasarlanan bitkiler, galaksiler, mikroorganizmalar,
kristaller ve canlılar Allah'ın üstün sanatının birer örneğidirler. Allah
Kuran'da herşeyi bir ölçüyle yarattığını bildirmektedir. Bu ayetlerden bazıları
şöyledir:
"... Allah, herşey için bir ölçü kılmıştır.""... O'nun Katında herşey bir miktar
(ölçü) iledir." (Ra'd Suresi, 8)
----------
1 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat
Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 155.
2 Guy Murchie, The Seven Mysteries Of Life, First Mariner Boks, New York s.
58-59.
3 J. Cumming, Nucleus: Architecture and Building Construction, Longman, 1985.
4 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat
Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 87.
5 A. L. Goldberger, et al., "Bronchial Asymmetry and Fibonacci Scaling."
Experientia, 41 : 1537, 1985.
6 E. R. Weibel, Morphometry of the Human Lung, Academic Press, 1963.
7 William. Charlton, Aesthetics:An Introduction, Hutchinson University Library,
London, 1970.
8 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat
Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 77.
9 http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
10 D'Arcy Wentworth Thompson, On Growth and Form, C.U.P., Cambridge, 1961.
11 C. Morrison, Along The Track,Withcombe and Tombs, Melbourne,
12 http://www.goldenmuseum.com/index_engl.html
13 J. H. Mogle, et al., "The Stucture and Function of Viruses", Edward Arnold,
London, 1978.
14 Buckminster Fuller'in Jeodezik Kubbe tasarımları hakkında ayrıntılı bilgi
için bakınız: Teknoloji Doğayı Taklit Ediyor, Biyomimetik, Harun Yahya, Global
Yayıncılık, İstanbul.
15 A. Klug "Molecules on Grand Scale", New Scientist, 1561:46, 1987.
16 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat
Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 82
17 Mehmet Suat Bergil, Doğada/Bilimde/Sanatta, Altın Oran, Arkeoloji ve Sanat
Yayınları, 2.Basım, 1993, s. 85
18 Değişik ışınlı bedenleri için bakınız: "H. Weyl, Synnetry, Princeton, 1952.
19 Emre Becer, "Biçimsel Uyumun Matematiksel Kuralı Olarak, Altın Oran", Bilim
ve Teknik Dergisi, Ocak 1991, s.16.
20 V.E. Hoggatt, Jr. Ve Bicknell-Johnson, Fibonacci Quartley, 17:118, 1979.
Kaynak:
HarunYahya.net
KAYNAK 4
Eski Yunanda altın dikdörtgen bir çok sanat dalında
kullanılmıştır. Bunlardan bir tanesi de Atina'daki Partenon 'dur. Partenon M.Ö
430 ve ya 440 yıllarında Athena adlı tanrıça için yapılmıştır. Tapınağın
orijinal planları elimizde olmasa da , tapınağın uzunluğu genişliğinin kök 5
katı olan bir dikdörtgen üzerine inşa edildiği gözükmektedir. Ayrıca aşağıdaki
resimlerde görebileceğiniz gibi tapınakta daha başka altın dikdörtgenlerde göze
çarpmaktadır. (altın dikdörtgen kenarları oranı altın oran olan
dikdörtgenlerdir.)
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/parthenonPhi.gif)
Altın oran sadece Yunanlılar tarafından
kullanılmamıştır. Mısır'daki Keops piramidinde,
Paris'in ünlü Notre Dame Katedralinde altın oranın izlerini görmek
mümkündür. Hatta
Türk mimarisi ve sanatı da altın orana ev sahipliği yapmıştır: Konya'da
Selçuklular'ın inşa ettiği İnce Minareli
medrese'nin taç kapısı, İstanbul'daki Davut Paşa Camisi, Sivas'ta
Mengüçoğulları'dan günümüze miras kalan Divriği
Külliyesi genel planlarından kimi ayrıntılarına dek f ile içiçe bir görünüm
sunar.
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/parthenonDIAG.gif)
ALTIN ORAN NEDİR?
Bu soruyu cevaplandırmak için bir başka soruyla başlıyoruz
işe. Acaba bir doğruyu göze en hoş gelecek şekilde nasıl ikiye bölebiliriz?
Kimileriniz doğruyu tam ortadan bölmeyi, kimileriniz de doğruyu üçte ikilik
ve üçte birlik iki parçaya bölmeyi teklif edeceklerdir. Ama bu iki cevap da
doğru değildir. Bu soruyu Eski Yunan Medeniyeti'nde nasıl çözdüklerine bir
bakalım.
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image7.GIF)
AB doğru parçasını öyle iki parçaya
böleriz ki, küçük parçanın ( [AC] ) büyük parçaya oranı ( [BC] ), büyük parçanın
bütün doğruya oranına eşit olsun.
Bu ifadeyi denkleme dökecek olursak
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image8.GIF)
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image9.GIF)
Burada içler dışlar çarpımı yaparsak
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image10.GIF)
Eğer 1- x i eşitliğin sol tarafına
geçirirsek
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image11.GIF)
denklemini elde ederiz. Bu denklemin iki
kökü vardır ve bunların değeri aşağıdaki gibidir
![](http://www.geocities.com/mimar53/images/Image13.GIF)
Yalnız bu köklerden 2. kök negatif olduğundan çözüm kümesine onu almayız (hiç
bir uzunluk negatif olamayacağından), ilk kök ise bizim phi
F diye
tanımladığımız altın oranı
verir
F
=1·61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576... |
Peki altın oranı bu kadar özel kılan nedir?
f sayısı mimaride, sanat eserlerinde,
doğada bulunur ve ayrıca fibonacci sayıları ile ilişkilidir
Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların... , kısacası Kainat'ın
yaratılışında yaratıcının kullandığı orandır.
Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar.
Kısaca biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz.
Çoğu zaman doğayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz.
Altın Oran'ın Görüldüğü
ve Kullanıldığı Yerler
1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa
doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir.
2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran
mevcuttur.
3) İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla
saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan
saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte
bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı
verecektir.
4) İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım:
a) Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır
(Büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı
altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı
verir.
b) Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var
diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma
oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine
altın oranı verir.
5) Tavşan:
İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik
vardır.
6) Mısır Piramitleri:
İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri... Şimdi ne
alaka Altın Oran ve Milattan Önce yapılan Mısır Piramitleri? Alaka şu; Her bir
piramidin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor.
7) Leonardo da Vinci:
Bilindiği gibi Leonardo da Vinci Rönesans devri ünlü ressamlarındandır. Şimdi bu
ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.
a) Mona Lisa: Bu tablonun
boyunun enine oranı altın oranı verir.
b) Aziz Jerome: Yine tablonun
boyunun enine oranı bize altın oranı verir.
8) Picasso:
Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve
resimlerinde bu oranı kullanmıştır.
9) Çam Kozalağı:
Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan
kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler)
oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.
10) Deniz Kabuğu:
Denize çoğumuz gitmişizdir. Deniz kabuklarına dikkat edenimiz,
belki de koleksiyon yapanımız vardır. İşte deniz kabuğunun yapısı
incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran
olduğu görülmüştür.
11) Tütün Bitkisi:
Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz
konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır.
12) Eğrelti Otu:
Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.
13) Elektrik Devresi:
demek ki Altın Oran sadece Matematik ve kainatta değil,
Fizik'te de kullanılıyormuş. Nasıl mı? Şöyle... Verilen n tane dirençten maximum
verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir.
14) SALYANGOZ: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir
dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) İşte bu
dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.
15) OTOMOTİV SANAYİ: İlk önce ben size bir soru yönelteyim. Estetik bakımından
bir Murat 131 mi daha çok ilginizi çeker yoksa bir Mazda ya da Toyota mı? Tabi
ki Mazda ya da Toyota demişsinizdir. Peki bunun nedenini hiç düşündünüz mü? Ben
size söyleyeyim. Şimdi Murat 131'e bakıyorsunuz, baktıkça içiniz kararıyor, yine
bakıyorsunuz yine kararıyor. En sonunda ya kardeşim bu ne biçim araba
diyorsunuz. Ama gidip bir Mazda ya da Toyota'ya bakıyorsunuz. Baktıkça içiniz
rahatlıyor, yine bakıyorsunuz ferahlıyorsunuz. Çünkü o kadar güzel bir estetik
var ki. İşte bu estetiği eğim sağlıyor. Mesela Murat 131'in önü, arkası, kapısı
her yeri düz (Mübarek kibrit kutusu) Ama Mazda ya da Toyota'nın kapısında
özellikle ön ve arka tamponunda bir eğim var. İşte bu eğimin eğrilik açısı
araştırılmış ve bunun altın oran olduğu görülmüştür. Bundan dolayı Çin, Amerika,
Japon Otomotiv Sanayi Dünya'da ilk üçü oluştururken; Türkiye maalesef ve
maalesef 30-40-50. sıralarda yer almakta. İnşallah bir gün bunu biz de akıl
ederiz...
16) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir.
Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu oran görülmektedir.
(Kaynak Tebeşir.com)
KAYNAK 5
Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları
arasındadır. Leonardo Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan
matematikçisiydi. Fibonacci (bu soyadının anlamı "Bonacci'nin oğlu"dur) 1202'
de, 1228 yılındaki ikinci baskısı sayesinde günümüze kadar varolmayı sürdürmüş
kitabı Liber Abaci'yi ("Abaküs konusunda bir kitap" olarak Türkçeye
çevrilebilir) yazmıştır. Liber Abaci, Hint-Arap sayılar sistemindeki sayısal
simgelerin (1,2,3,... sayıları) Avrupa'ya girmesinde oldukça önemli bir yer
sahibidir. Oldukça büyük boyutlu bir kitaptır ve o dönemde bilinen matematiğin
büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir. Cebirin kullanımı , farklı önem ve
zorluk derecesinde bir çok örnek de verilerek, çok özel bir yer tutmaktadır.
Ancak bunların arasından bir tanesi ve yalnız bir tanesi diğerlerinin çok
ötesinde ünlü olmuştur: Günümüze erişen 1228 yılındaki ikinci baskının 123-124.
sayfalarında yer almaktadır ve tavşan üretmek gibi matematikle pek ilgisi
olmadığının düşünüldüğü bir konuyla ilgilidir. Temelde sorulan soru şudur; eğer
bir çift tavşan her ay yeni bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti
kendi doğumlarından iki ay sonra yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir
yılda kaç çift tavşan üretilebilir? İlk ay yeni doğmuş bir çift tavşanımız
olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl büyütülecekleri veya
bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez. İkinci ayda,
bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü
ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni
doğmuş olan çift dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift
yavru yapacak ve toplam üç çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam
edersek aşağıdaki sayı dizisini elde ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru
çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim aylarının her birinde
bizim kahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu
görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında)
kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Böylece, örneğin,
dizinin sonundaki Aralık ayı sayısı , Ekim ve Kasım sayıları olan 55 ve 89
sayılarını toplayarak kolayca bulunabilir...
Zannedersem buraya kadar bir sorun yoktur, çünkü ilk bakışta gayet sıradan
bir dizi gibi durmaktadır, bizim dizimiz. Ancak matematikçileri bu kadar
heyecanlandıran ve peşinden sürükleyen olay nedir? Şimdi bu diziyi genelleyelim.
Tavşanların bu şekilde devamlı yeni bebek sahibi olduklarını düşünürsek dizimizi
sonsuza kadar uzatabiliriz. Hatta tavşanların hepsini bir yana bırakarak ,
n'inci sayıyı Fn olarak yazarak (Fibonacci
adının baş harfi olduğundan F harfini kullanıyoruz) ve Fn 'in kendinden önce gelen Fn-2
ve Fn-1 sayılarının toplamı olduğunu hatırlayarak sonsuz bir sayı
dizisi tanımlayabiliriz. Öyleyse Fibonacci sayılarının dizisi şu şekilde
yazılabilir;
F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , ....., Fn , .....
Öyleyse bize, F1 =1 ve F2 =1 verildiğinde daha
sonra gelen bütün sayıları bulabilmemizi sağlayan basit denklem şöyle olacaktır;
Bu formüle bakarak bazı şeyleri söyleyebiliriz. Mesela n=3 ise; F3 = F2 + F1 = 1 +
1 = 2 olur. Aynı şekilde F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 vb.. bulunabilir. Eğer biz bu işleme devam
edersek sayılar korkunç derecede büyürler. Mesela dizinin 25' inci sayısı 75.025
olmuş, 100'üncü sayısı olan F100 =
354.224.848.179.261.915.075 gibi 21 basamaklı dev bir sayı olmuştur. Ancak bu
dizinin terimlerine ilk bakışta görülemeyen bir başka düzen daha vardır. Dizinin
sayıları ilerledikçe bu düzen kendini daha belirgin bir biçimde ortaya koyar.
Eğer her Fibonacci sayısı kendisinden sonra gelen komşusuna bölünürse ve bulunan
oranlar yazılırsa bu düzen hemen karşımıza çıkar. Böylece ilk iki oranla yola
çıkarak, F1 / F2 = 1 ,
F2 /F3 = 1/2 (yani 0.5) olarak bulunur. Bu işlemi aynen
devam ettirirsek sonraki sayfada gösterildiği gibi sayılar elde edilir...
1.000000
0.500000
0.666666
0.600000
0.625000
0.615385
0.619048
0.617647
0.618182
0.617978
0.618056
0.618026
0.618037
0.618033
0.618034
0.618034 |
Bu sayılar gayet sıradan bir sayı gibi görünen 0.618034... sayısına doğru
gidiyorlar. Gerçekte, bu "Fibonacci Sayıları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme
sonucunda bulunan sayılar (-1)/2 sayısına giderek daha da yaklaşırlar, bu
sayının ondalık ifadesi de bilgisayarlarımızın verdiği tam hassasiyetle
0.618033989 olarak bulunmuştur. Fibonacci sayıları ailesi üç ayrı nedenle,
yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur. Birincisi;dizinin daha küçük
üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza çıkmasıdır;
bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb. İkinci neden oranların limit değeri olan
0.618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; genellikle "altın oran"
olarak adlandırılan bu sayı, oyun kartlarının biçiminden Mısır'daki piramitlere
kadar bir çok şeyin matematiksel temelini oluşturmaktadır. Üçüncüsü daha çok,
sayıların kendilerinin, sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok
kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir. Önce doğada küçük Fibonacci
sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir bitkinin
sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde hemen her zaman Fibonacci
sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınmışsa
ve bundan başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam
olarak altında veya üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa
(sap çevresinde birden fazla dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı,
farklı bitkiler, fidanlar ve ağaçlar için farklıdır, ancak her zaman bir
Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini tamamlamadan önce
yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Ayrıca papatyaların da normal
olarak bir Fibonacci sayısı kadar taç yaprağı vardır, tabi seviyor - sevmiyor
diye koparılmamış ise:). Bu sebeple siz siz olun olaya matematiksel yaklaşarak
genellikle elinize aldığınız papatyaya "seviyor" sözcüğüyle başlayın, çünkü bir
papatyanın yaprak sayısı genelde Fibonacci sayılarından 21, 34, 55 ve 89 dur.
Doğadan Fibonacci sayılarına diğer bir örnek ise ayçiçekleriyle ilgilidir.
Ayçiçeğinin çiçek kısmında, ufak bölmelerde tohumlar vardır. Bu bölümlerin
sınırları merkezden başlayıp çiçeğin dış kenarına giden sarmal eğriler
şeklindedir. Eğer bir ayçiçeğini inceleme şansınız olursa ve hem saat yönünde
hem de saat yönünün zıddındaki sarmalları sayarsanız bir Fibonacci sayısıyla
karşılaşacağınızdan şüpheniz olmasın. Ayçiçeklerinin tohumları büyük ve bu
sebeple incelenmesi rahat olduğundan örnek olarak verdim, yoksa ayçiçeğinin özel
bir durumu yoktur. Birçok çiçeğin tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir
soğanın katmanları, ananas ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel
şekillerin birçoğu Fibonacci sarmalları içerisindedir. "Fibonacci olmayan
herhangi bir kozalak bulunmuş mudur?" diye sorabilirsiniz. Yanıt "Evet ama çok
az sayıda." şeklindedir. Yüzde bir veya iki oranında farklı kozalakları olan
(çoğu zaman bir kaç belirli çam türünden)bazı çam ağaçları vardır. Bunlar bile
sık sık Fibonacci kozalaklarıyla , yakından ilişkilidirler, örneğin, normal olan
5 ve 3 sayıları yerine belki de bir çifte Fibonacci sarmalının 10 ve 6 sayı
çiftine sahiptirler. Eğer Fibonacci sayılarının nasıl oluştuğunu, yani n'inci
sayının , daha küçük iki komşusundan
Fn = Fn-1 + Fn-2
denklemlerini kullanarak hesaplandığını hatırlarsak, ilk iki sayı seçilmeden
bütün dizinin tümüyle saptanmış olmayacağı açıkça görülür. Fibonacci dizisi, F1 = 1 ve F2 = 1 ile
başlar, öbürlerini de yukarıdaki denkleme göre daha sonra saptarız. Ancak bu iki
başlangıç sayısının özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerler de
seçilebilir ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı
dizisi elde edebilirsiniz.
Fransız matematikçisi Edward Lucas'ın adıyla anılan Lucas sıyıları dizisi Fibonacci sayı dizileriyle akrabadır. Başlangıç sayıları için seçilebilecek
ikinci en basit sayıları seçerek F1 = 1
ve F2 = 3 olarak almıştır. F1
= 1 ve F2 = 2 koyarsak Fibonacci dizisini bazı ufak
düzensizliklerle tekrarlayan bir dizi oluştuğuna ve yeni hiç bir şey elde
edilmediğine dikkat etmenizi istiyorum. Oysa Lucas sayıları Fibonacci
akrabalarından çok farklı bir dizi oluştururlar ve şu şekildelerdir;
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,...
Genellikle Lucas'ın baş harfi olan Ln
ile gösterilirler. Lucas dizisi Fibonacci dizisinin birçok akrabasından biridir
ancak ilginç olan bu sayıların da bazen doğada görülmesidir. Mesela Lucas
ayçiçekleri olduğu belirlenmiştir. Fibonacci arkadaşlarından daha az rastlanıyor
ancak 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan örnekler görülmüştür...
Doğada Fibonacci sayılarının ve çok sık olmamakla beraber Lucas sayılarının
görülmesini açıklamaya çalışan bazı görüşler vardır. Bunlar içinde akla en
yatkın olan, bir sap çevresindeki yaprakların Fibonacci sarmallarına göre
sıralanmakla yüzeylerinin Güneş'i en verimli biçimde almalarının sağlandığı
yolundadır. Diğer bir görüş ise (daha az doğrulanabilir olmasına rağmen), polen
taşıyan böceklerin "sayısal düzenler" i tercih ettikleri varsayımına
dayanmaktadır. Bu tercih sebebiyle evrim süreci boyunca Fibonacci
geometrilerinin baskın çıkmasına yol açmıştır.
Şimdi ise Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin sonsuza gitmeleri sonucu ortaya
çıkan ve altın oran denilen limit oranı 0.618033989... sayısı üzerinde duralım.
Bu sayıya olan ilgi 2000 yıl öncesinden de geriye dayanır. "Atalarımız" altın
oranı temel alan sanat ve mimarinin göze olağanüstü güzel göründüğünü
biliyorlardı. Bu nedenle geometriyi altın orana göre tanımladılar; özellikle de
bir düz doğru parçasını ikiye ayıran nokta olarak. Öyle ki, küçük parçanın
büyüğe oranı, büyüğün bütüne olan oranına tam olarak eşittir. Küçük bölümü x,
büyük bölümü ise 1 ile gösterirsek aşağıdaki gibi bir ifade yazabiliriz;
x / 1 = 1 / ( 1 + x )
Buradaki x+1 ifadesi anladığınız üzere doğru parçasının bütününün
uzunluğudur. Bu ifadeye basit bir içler dışlar çarpımı uyguladığımızda
x2 + x - 1 = 0 biçiminde
ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Bu ifadeden de x ' i çekersek x=( -1)
/ 2 tam çözümünü elde ederiz. Daha önce de ifade ettiğim gibi x = (-1) / 2 ifadesi bilgisayarlarımızın vermiş olduğu
hassasiyetle 0.618033989 sayısıdır.
Kısa kenarının uzun kenarına olan oranı altın oran olan bir dikdörtgen
çizerseniz çok ünlü bir sanat eseri ortaya çıkarmış olursunuz, ve buna altın
dikdörtgen adı verilir. Eski Yunan'da buna Kutsal
kesit adını vermişlerdi.
|