Producto algebraico de conjuntos
De ferman : Fernando Mancebo Rodriguez ----- Pagina personal Y English version

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Producto algebraico de conjuntos.

Esta teoria de conjuntos fisicos y matematicos entiende que si queremos considerar los productos de conjuntos de elementos entre si debemos acercarnos los mas posible a los principios y propiedades de la multiplicacion de numeros, y al mismo tiempo al respeto a las propiedades de los elementos de cada conjunto.
Por ello comenzare con alguna definicion y exposicion de los principales parametros estructurales del producto algebraico entre conjuntos.

El producto algebraico de conjuntos consiste en multiplicacion de los mismos siguiendo los metodos algebraicos comunes.

Al estar los conjuntos formados por elementos de cualquier tipo y entidad, nosotros consideraremos dos tipos de componentes de los factores a multiplicar:

-- Los elementos propiamente dichos, que como hemos dicho pueden ser de cualquier tipo y entidad.
(Por ejemplo: un lapiz, un arbol, un animal, un signo, un simbolo, una idea, un sentimiento, etc.)

-- Y los coeficientes multiplicadores o cantidad de estos elementos anteriores que pueda contener cada uno de los factores a multiplicar.
(Por ejemplo: 25 conejos; siendo 25 el coeficiente multiplicador de los elementos del conjunto o conejos)

Pues bien, como veremos mas adelante en el producto algebraico de conjuntos los coeficientes o cantidades se multiplican entre ellos y los elementos se integran (fusionan) entre si.

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Pero comencemos por revisar la forma algebraica de los productos de conjuntos. Asi si tomamos dos conjuntos de incognitas A( a, b) y B (x, y) y queremos multiplicarlos debemos hacerlo como si de numeros se tratara:

A x B = (a, b) x (x, y) = AB (ya, yb, xa, xb)

Y despues a este resultado podemos a su vez multiplicarlo por otro conjunto C ( d, e )

AB (ya, yb, xa, xb) x C (d, e) = ABC (eya, eyb, exa, exb, dya, dyb, dxa, dxb)

Como vemos el producto de conjuntos de elementos lleva consigo la INTEGRACION de los factores multiplicadores de cada acto operativo en un solo elemento que llamaremos FACTOR INTEGRADO.
En el ejemplo anterior, cuando multiplicamos y . a el factor integrado sera el resultado ya.

Ahora bien, cualquiera de estas incognitas puede ser sustituida por un numero o por un elemento.
Si es por un numero, las operaciones son las ya conocidas en matematicas:

A x B = (6, 4) x (3, 2) = AB (2x6, 2x4, 3x6, 3x4, = AB (12, 8, 18, 12)

Pero si son elementos fisicos los factores de la multiplicacion, entonces los elementos resultantes de la INTEGRACION de cada acto operativo estaran formados por la union fisica de los elementos en un solo elemento compuesto o factor integrado.
Por ejemplo:

A x B = (@, &) x (#, %) = AB (%@, %&, #@, #&)

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Coeficientes y elementos

En la multiplicacion de conjuntos de elementos debemos distinguir entre los elementos propiamente dichos y los factores multiplicadores de estos elementos.
En un conjunto A ( 5 conejos, 4 botellas ) puede haber elementos fisicos que lo compongan (conejos y botellas) y coeficientes que expresen la cantidad de estos elementos ( 5 y 4 ).
Pues bien, los coeficientes siempre multiplican tanto a sus elementos como a los elementos del otro factor en cada acto operativo.
Por ejemplo:

A ( 5 conejos, 4 botellas ) y B ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes ) = AB( 10 caja-conejo, 8 caja-botella, 15 estante-conejo, 12 estante-botella )

Lo cual quiere decir que habra:
-- 15 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo con estante.
-- 12 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un estante con botella.
-- 10 Factores integrados (o subconjuntos) formados por un conejo en su caja.
-- 8 Factores integrados (o subconjuntos) formados por una caja con botella.

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Cantidades y coeficientes.

En el producto algebraico pueden aparecer elementos numericos los cuales representan diferentes conceptos ya sean considerados como Cantidades o como Coeficientes:

Cantidades

Seran valores numericos o matematicos libres o puros, es decir, no se sujetan a ningun elemento al que multiplicar o referenciar.
Estas cantidades matematicas tienen valor por si mismo y no tienen que depender de ningun elemento fisico para su existencia.

A ( 23, 12, 4)

Coeficientes

Los coeficientes son las cantidades de elementos que contienen un conjunto o factor y por tanto estan sujetas a la existencia de estos elementos.
Si no existe el elemento tampoco existe el coeficiente.
En el ejemplo:

A (2x, 2y, 3H )

Si x, y o H toman valor cero, entonces los coeficientes 2, 2 o 3 tambien toman valor cero y dejan por tanto de existir.

Numero de sub-conjuntos resultantes.

Como vemos en los ejemplos, el numero de subconjuntos o factores integrados resultantes de una multiplicacion de conjuntos de elementos es igual al producto del numero total de elementos de cada conjunto multiplicador.

A x B = ( 5 conejos, 4 botellas ) x ( 2 cajas, 3 estantes )

A x B = ( 5 + 4 = 9 ) x ( 2 + 3 = 5)

A x B = 5 x 9 = 45 subconjuntos o elementos compuestos.

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Elemento multiple: ( x e )

A veces necesitaremos tomar conjuntos de elementos y operar con el como si fuera uno solo con el fin de obtener un resultado mas apropiado para nosotros.
Por ejemplo, si queremos clavar cinco clavos en una madera, no podemos multiplicar la madera por los cinco claves como elementos separados, pues nos darĂ­a cinco madera con un clavo cada una.

A ( Madera ) x B ( 5 clavos ) = Madera x 5 calvos = 5 maderas-clavo

Por ello para convertimos los cinco clavos que son cinco elementos en un solo elementos de cinco clavos:

B ( (5 clavos) )

Y de esta manera multiplicamos el elemento madera por el elemento (5 clavos)

A (madera ) x B ( (5 clavos) ) = AB ( madera-5 clavos )

Veamos los dibujos.

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Con el segundo dibujo vemos que el producto de conjuntos puede darnos como resultado a conjuntos o subconjuntos de distinto Tipo, resultando a veces conjuntos Difusos en los cuales sus elementos no guarden ninguna relacion entre ellos, o como en este dibujo anterior, en el cual el conjunto resultante puede ser un conjunto en relacion, es decir, que sus elementos tengan convergencia entre ellos.

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Adicion o clonacion de elementos en la multiplicacion algebraica.

En las operaciones de suma, resta y division, los elementos resultantes de estas operaciones ya estaban en los factores primarios de dichas operaciones, pero en la multiplicacion algebraica se produce una adicion de elementos que no estaban en estos factores operativos primarios.
Si lo elementos son comunes, (por ejemplo lapices, conejos, cuadrados, rosas, etc.) basta con buscar e introducir nuevos elementos para completar el producto resultante.
No obstante, si lo que deseamos es multiplicar a un elemento determinado, (p.e, 3 x Don Quijote = 3 Don Quijotes) entonces a los teoricos elementos introducidos le denominares como elementos Clonados.

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** No obstante, al tener la clonacion caracter abstracto y no sujetarse completamente a la realidad fisica de los elementos, esta teoria no tendra en cuenta la clonacion y solo estudiara los elementos fisicos comunes.

Interseccion de elementos entre factores y producto.

En el producto algebraico de conjuntos, al tener que introducir nuevos elementos del exterior para conseguir completar el producto de la multiplicacion, puede llevarnos en ciertos casos a necesitar saber cuales son los elementos que ya estaban en los factores a multiplicar y cuales son los que hemos introducido en el producto.
Para ello utilizamos el metodo de interseccion de esta teoria, es decir, subrayar los elementos que estan tanto en los factores como en el producto, tal cual vemos en el dibujo.

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Recordemos la interseccion de elementos en esta teoria:

Dados dos conjuntos A (a, b, c,) y B (c , d, e) llamamos elementos de interseccion a los que pertenecen a los dos conjuntos.
Los elementos de interseccion se expresan subrayandolos:
Sean dos conjuntos A (a, b, c,) y B (c , d, e) donde c es el elementos de interseccion que pertenece a ambos conjuntos.

Propiedad conmutativa en el producto algebraico de conjuntos.

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De momento consideraremos que el producto algebraico de conjuntos tiene la propiedad conmutativa y que tanto el orden de situacion de los elementos dentro del conjunto como el orden de los elementos dentro de los factores integrados siguen esta propiedad.

A (a,b,) = A'(b,a) ; ab = ba

Principio de Ubicuidad

Como he expuesto varias veces, esta teoria sobre los elementos fisicos trata de llevar las matematicas de conjuntos a la realidad de los elementos fisicos y por tanto las operaciones matematicas han de sujetarse a las caracteristicas de estos elementos.
Pues bien, una de estas caracteristicas es la que un elemento fisico no puede estar en dos lugares distintos a la vez.
Por tanto tomaremos esta definicion para el Principio de Ubicuidad:

"Ningun elemento fisico puede estar en dos o mas lugares al mismo tiempo."

Y de esta consecuencia podemos considerar los siguientes puntos:

1.-
Ningun elemento fisico puede estar repetido dentro de un mismo conjunto.
Si puede pertenecer a dos o mas conjuntos distintos.
Si estuviera representado dos o mas veces dentro de un conjunto debemos considerarlo como un solo elemento a la hora de operar con el.

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2.-
En el producto algebraico entre distintos conjuntos donde existe uno o mas elementos de interseccion, dichos elementos no podran operar sobre si mismos, y por tanto seran tenidos en cuenta solo una vez preferentemente en el primer factor o multiplicando.

A (a,b,c) x B (c,d,e) = A (a,b,c) x B (d,e)

Ello es consecuencia a que un elemento fisico no puede fusionarse con si mismo y por tanto no puede multiplicarse tampoco por si mismo.

En el caso del cuadrado (cubo...N) de un conjunto, el producto resultante sera el la fusion de sus elementos.

A (a,b,c,) x A (a,b,c) = A2 (abc)

3.-

A.- El principio de Ubicuidad no afecta a cantidades numericas puesto que no son elementos fisicos.

A ( 2, 5 ) x B ( 3, 5 ) = AxB ( 10, 25, 6, 15 )

B.- Si afecta a los coeficientes puesto que si eliminamos los elementos de un conjunto eliminamos tambien el coeficiente multiplicador.

A (2U, 3H ) x B (2U, 2K ) = A ( 2U, 3H ) x B ( 2K )

Pues debemos eliminar los elementos 2U del multiplicador. ( ver 2.- )

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Producto interno de los elementos de un conjunto.

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